26. Вариационный принцип для гравитации

Введем скаляр

где интегрирование проведено по определенному четырехмерному объему. Придадим малое приращение , оставляющее и его первые производные неизменными на границе объема. Требование при произвольных приводит, как будет показано ниже, к уравнениям Эйнштейна для пустого пространства. Из (14.4) имеем

где

и

Скаляр I содержит вторые производные , поскольку они входят в R. Однако эти производные входят лишь линейно и, следовательно, их можно исключить интегрированием по частям. Получим

Два первых члена являются полными производными, и поэтому они не дают вклада в I. Тогда в (26.4) необходимо оставить только два последних члена. С учетом (22.5) и (22.4) они принимают вид

Это совпадает с из (26.3). Таким образом, для I получаем выражение:

содержащее только и его первые производные. Скаляр I является однородной квадратичной формой по первым производным.

Положим и возьмем эту величину (с соответствующим численным множителем, который будет определен ниже) в качестве плотности действия для гравитационного поля. Величина не является скалярной плотностью, однако работать с ней удобнее, чем с величиной являющейся скалярной плотностью, так как не содержит вторых производных .

Согласно классической динамике, действие есть интеграл по времени от лагранжиана. В рассматриваемом случае

так что лагранжианом, очевидно, является

Таким образом, можно рассматривать и как плотность лагранжиана (в трех измерениях), и как плотность действия (в четырех измерениях). Компоненты можно считать динамическими координатами, а их временные производные — скоростями. Заметим далее, что лагранжиан является квадратичной (неоднородной) формой по скоростям, как обычно и бывает в классической динамике.

Теперь проварьируем . Используя (20.6) и (22.5), получаем

а согласно (22.3)

Вычитая (26.6) из (26.5), находим

Два первых члена отличаются от

на полную производную. Отсюда имеем

где задается формулой (14.4). При произвольных величины также являются произвольными и независимыми, тогда требование обращения (26.8) в нуль приводит к уравнениям Эйнштейна в форме (24.1).

Методом, аналогичным (7.9), можно показать, что

В соответствии с (20.5) получим

(26.10)

Таким образом,

Тогда (26.8) можно записать в другой форме:

(26.11)

Требование обращения (26.11) в нуль приводит к уравнениям Эйнштейна в форме (24.2).