5. Искривленное пространство

Двухмерное искривленное пространство легко себе представить как поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Аналогичным образом можно иметь дело с искривленным четырехмерным пространством в плоском пространстве большего числа измерений. В этом случае искривленное пространство называют римановым. Малая область риманова пространства близка к плоскому пространству.

Эйнштейн предположил, что физическое пространство является пространством именно такой природы, и поэтому положил риманову геометрию в основу теории гравитации.

В искривленном пространстве нельзя ввести систему прямолинейных координат. Приходится пользоваться криволинейными координатами типа рассмотренных в разд. 3. Формализм этого раздела можно целиком применить к искривленному пространству, так как все обсуждавшиеся там уравнения являются локальными, что делает их нечувствительными к кривизне.

Инвариантный интервал между точкой и близлежащей точкой дается выражением вида (2.1):

Интервал для временеподобных точек является действительным, для пространственноподобных точек — мнимым.

В криволинейных координатах заданная как функция координат, фиксирует все элементы инвариантного расстояния; таким образом, g задает метрику. Величина определяет как координатную систему, так и кривизну пространства.