18. Решение Шварцшильда

Уравнения Эйнштейна для пустого пространства представляют собой очень сложные нелинейные уравнения, и нахождение их точных решений является весьма трудной задачей. Однако в одном специальном случае решение находится без особых усилий, а именно: в случае статического сферически-симметричного поля, создаваемого покоящимся сферически-симметричным телом.

Условие статичности означает, что в статической координатной системе не зависит от времени или t, и, кроме того, . В качестве статической координатной системы можно выбрать сферические полярные координаты Наиболее общее выражение для в случае сферической симметрии имеет вид

где U, V и W зависят только от . Не нарушая сферической симметрии, можно заменить произвольной функцией от . Используем это обстоятельство для максимального упрощения выражения для . Удобнее всего обратить множитель W в единицу. Тогда можно записать следующим образом:

где v и зависят только от . Функции v и должны быть выбраны так, чтобы удовлетворять уравнениям Эйнштейна. Из (18.1) можно выразить через

Далее находим

Теперь необходимо выразить через и все символы Кристоффеля. Многие из них обращаются в нуль, а оставшиеся имеют вид:

где штрих означает дифференцирование по . Эти выражения нужно подставить в (14.4). В результате получим:

(остальные компоненты в этом случае тождественно равны нулю).

Эйнштейновский закон гравитации требует, чтобы эти выражения обращались в нуль. Обращение в нуль (18.2) и (18.3) дает

При больших пространство должно быть близко к плоскому, так что при должны стремиться к нулю. Следовательно,

Из обращения в нуль (18.4) следует, что

или

Отсюда

где — постоянная интегрирования. Подстановка последнего соотношения в (18.2) и (18.3) также обращает их в нуль. Из этого же соотношения получаем выражение для

Для больших значений должно быть справедливо ньютоново приближение. Сравнение (18.5) с (16.6) показывает, что постоянная интегрирования то, которая появляется в (18.5), есть не что иное, как масса тела, создающего гравитационное поле.

Полное решение уравнений Эйнштейна имеет вид

Оно известно под названием решения Шварцшильда и применимо вне тела, создающего гравитационное поле, т.е. в области, где отсутствует материя. Таким образом, это уравнение с приемлемой точностью справедливо вне поверхности звезды.

Для движения планет вокруг Солнца решение (18.6) дает малые поправки к ньютоновской теории. Они ощутимы только для Меркурия — ближайшей к Солнцу планеты — и объясняют отклонение траектории этой планеты от траектории, предсказываемой теорией Ньютона. Это является убедительным подтверждением эйнштейновской теории.