5. Примеры неканонических скобок Пуассона. Системы с гироскопическими силами.

Пусть на касательном расслоении задана лагранжева динамическая система с лагранжианом L, содержащим члены, линейные по скоростям

— положительно определенная квадратичная по q форма кинетической энергии, — потенциал. Линейные члены в (5.1) могут возникать либо при наличии в системе гироскопических сил типа силы Лоренца, действующей на заряд в магнитном поле, либо в процессе понижения порядка по Раусу в системах, содержащих циклические координаты [25].

называется формой гироскопических сил. Она определена на конфигурационном пространстве и является замкнутой. По лемме Пуанкаре, локально эта форма является точной, что может быть не выполнено

глобально. В этом случае лагранжиан (5.1) не является глобально определенным на касательном расслоении (точнее, -форма в лагранжиане (5.1) не определена глобально). Если перейти с помощью преобразования Лежандра от лагранжева формализма к гамильтонову, то полученный таким образом гамильтониан также не будет определен глобально на кокасательном расслоении (кроме случая, когда форма Г точна ). Чтобы сохранить однозначность гамильтониана, можно выполнить преобразование Лежандра без учета в (5.1) линейных по q членов. Это приведет к гамильтоновой системе с глобально определенным гамильтонианом (который полезно иметь для топологических исследований в «целом» [25]), однако к симплектической структуре добавится дополнительный (гироскопический) член . В скобке Пуассона также появятся дополнительные слагаемые . Включение гироскопических членов в скобку Пуассона было предложено Сурьо [45]. В работе [25] изложенные соображения применены к уравнениям Кирхгофа, что позволило явно выделить глобальные эффекты (типа «монополя Дирака») при приведении по Раусу уравнений движения на сферу Пуассона.