СКОБКИ ДИРАКА В ГЕОМЕТРИИ И МЕХАНИКЕ

А. В. Борисов, И. С. Мамаев

В этой книге приведены все работы Поля Дирака по обобщению гамильтоновой механики на случай вырожденных лагранжианов. Это обобщение было им использовано в дальнейшем для квантования различных полевых систем. Однако возникшая при этом классическая теория имеет собственный интерес и может быть использована при анализе различных задач динамики и геометрии.

Изложение Дирака во многом носит интуитивный физический характер, а его конструкции с современной точки зрения требуют дополнительного обоснования. В этом приложении мы постараемся остановиться на некоторых основных дифференциально-геометрических идеях, заложенных в рассуждениях Дирака, а также поясним их на ряде примеров, возникающих в классической механике. Отметим также, что несколько узкая задача о переходе от лагранжева к гамильтонову формализму в вырожденном случае заставила переосмыслить основную аксиоматическую базу гамильтоновой механики и выделить скобки Пуассона в качестве основного объекта. Это фактически привело к созданию теории пуассоновых структур, способствовало развитию таких математических дисциплин, как теория конечномерных и бесконечномерных алгебр Ли, топологии и др. Мы по возможности попытались сделать изложение замкнутым — поэтому сочли разумным напомнить сначала читателю основы гамильтоновой механики, теории пуассоновых многообразий и симплектической геометрии. Более подробные сведения можно найти в нашей книге [10], а также в [29, 31, 26].

1. Скобки Пуассона и их свойства.

Многие задачи динамики допускают запись в гамильтоновой форме

где канонические координаты определены на некотором четномерном многообразии — фазовом пространстве. Функция Я называется гамильтонианом. Если ввести скобку Пуассона двух функций F и G по формуле

то уравнения (1.1) можно переписать в виде

Любая дифференцируемая функция также эволюционирует по гамильтонову закону:

Классическое изложение гамильтоновой механики, основанное на теории производящих функций и канонических преобразований координат , не является инвариантным относительно произвольных координатных преобразований. Поэтому при инвариантном построении гамильтонова формализма (следуя П. Дираку) исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона, определенных для функций, заданных на некотором многообразии М с координатами . Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям:

— билинейность,

— кососимметричность,

— правило Лейбница,

— тождество Якоби.

Скобку Пуассона мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие М, на котором она задана — пуассоновым.

В приведенном определении мы отказались от свойства невырожденности, (т.е. ) которое заложено в выражении (1.2), что позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. При этом пуассонова структура может оказаться вырожденной и обладать функциями Казимира ,

коммутирующими со всеми переменными и, стало быть, с любыми функциями — (в литературе для функций Казимира употребляют также термины: аннуляторы, центральные функции, отмеченные функции и просто казимиры).

Свойства позволяют записать скобку Пуассона функций F и G в явном виде

Базисные скобки называются структурными функциями пуассонова многообразия М относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат х [26]. Они образуют структурную матрицу (тензор) размером . Если

то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2).

Структурная матрица обладает следующими свойствами:

а) кососимметричность:

б) тождество Якоби:

Легко видеть, что всякая постоянная кососимметрическая матрица задает пуассонову структуру.

Инвариантный объект, определяемый тензором является бивектором (бивекторным полем):

где — ковектор с компонентами .

Векторное поле определяет на многообразии гамильтонову систему, которая в компонентной записи имеет вид

Функция при этом называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).

Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношением

Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование, сохраняющее скобки Пуассона.

Определение 1. Функция называется первым интегралом системы, если ее производная вдоль системы равна нулю это условие эквивалентно тому, что .