Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
СКОБКИ ДИРАКА В ГЕОМЕТРИИ И МЕХАНИКЕА. В. Борисов, И. С. Мамаев В этой книге приведены все работы Поля Дирака по обобщению гамильтоновой механики на случай вырожденных лагранжианов. Это обобщение было им использовано в дальнейшем для квантования различных полевых систем. Однако возникшая при этом классическая теория имеет собственный интерес и может быть использована при анализе различных задач динамики и геометрии. Изложение Дирака во многом носит интуитивный физический характер, а его конструкции с современной точки зрения требуют дополнительного обоснования. В этом приложении мы постараемся остановиться на некоторых основных дифференциально-геометрических идеях, заложенных в рассуждениях Дирака, а также поясним их на ряде примеров, возникающих в классической механике. Отметим также, что несколько узкая задача о переходе от лагранжева к гамильтонову формализму в вырожденном случае заставила переосмыслить основную аксиоматическую базу гамильтоновой механики и выделить скобки Пуассона в качестве основного объекта. Это фактически привело к созданию теории пуассоновых структур, способствовало развитию таких математических дисциплин, как теория конечномерных и бесконечномерных алгебр Ли, топологии и др. Мы по возможности попытались сделать изложение замкнутым — поэтому сочли разумным напомнить сначала читателю основы гамильтоновой механики, теории пуассоновых многообразий и симплектической геометрии. Более подробные сведения можно найти в нашей книге [10], а также в [29, 31, 26]. 1. Скобки Пуассона и их свойства.Многие задачи динамики допускают запись в гамильтоновой форме
где канонические координаты
то уравнения (1.1) можно переписать в виде
Любая дифференцируемая функция
Классическое изложение гамильтоновой механики, основанное на теории производящих функций и канонических преобразований координат
Скобку Пуассона В приведенном определении мы отказались от свойства невырожденности, (т.е. коммутирующими со всеми переменными Свойства
Базисные скобки
то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2). Структурная матрица а) кососимметричность:
б) тождество Якоби:
Легко видеть, что всякая постоянная кососимметрическая матрица Инвариантный объект, определяемый тензором является бивектором (бивекторным полем):
где Векторное поле
Функция Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношением
Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование, сохраняющее скобки Пуассона. Определение 1. Функция
|
1 |
Оглавление
|