9. Свойство стационарности геодезических

Геодезическая, не являющаяся нулевой, обладает следующим свойством: интеграл , взятый вдоль участка траектории с граничными точками Р и Q, при малых вариациях траектории с фиксированными граничными точками постоянен.

Пусть каждая точка траектории с координатами смещена в точку с координатами смещение вдоль траектории обозначить

то

Кроме того,

Таким образом, поскольку , то

Следовательно,

Интегрируя по частям и используя условие в граничных точках Р и Q, получаем

Условием обращения (9.1) в нуль при произвольном является

Далее,

Тогда условие (9.2) принимает вид

Умножив это уравнение на можем записать:

т.е. как раз условие (8.3) для геодезической.

Отсюда видно, что для геодезической выражение (9.1) обращается в нуль и . И наоборот, если постоянен, можно показать, что траектория является геодезической. Таким образом, условие постоянства можно использовать как определение геодезической, за исключением случая нулевой геодезической.