4. Пуассоновы подмногообразия. Ограничение скобки.

Определение 2. Пусть — пуассоновы многообразия. Отображение называется пуассоновым, если

для любых функций (т. е. отображение сохраняет скобку Пуассона).

Пусть — подмногообразие в пуассоновом многообразии. На N можно определить скобку функций по формуле

где в правой части стоит ограничение скобки Пуассона двух функций F, G, являющихся гладкими продолжениями функций F, G на объемлющее многообразие М.

Определение 3. Подмногообразие N называется пуассоновым, если скобка не зависит от способа продолжения функций F и

При этом отображение вложения является пуассоновым.

Определение 4. Пуассонова структура на многообразии N, в общем случае содержащая константы, фиксирующие это подмногообразие в М, называется ограничением на N скобки .

Пуассоновость подмногообразия N гарантирует для выполнение тождества Якоби. В случае, если скобка — невырождена, соответствующее подмногообразие называется невырожденным (сим-плектическим).

Несложно проверить, что поверхности уровня функций Казимира задают пуассоново подмногообразие, которое является невырожденным, если рассмотреть их общий регулярный уровень. Чтобы лучше понять устройство других пуассоновых подмногообразий, сформулируем простые утверждения, доказанные, например, в [26].

Предложение 1. Если N — пуассоново подмногообразие, то для всякой функции векторное поле касается N.

Предложение 2. Если N задано в виде , то для всякой функции F: М М. выполнено (в частности, для координатных функций .

С точки зрения динамики, функции Казимира представляют собой первые интегралы, существующие у гамильтоновой системы (1.9) при любых функциях Гамильтона Н. В общем случае пуассоновы подмногообразия представляют собой систему инвариантных соотношений динамической системы (1.9), также не зависящую от выбора гамильтониана. Симметрии, соответствующие этим функциям, содержатся полностью в пуассоновой структуре.

Само обобщение классической гамильтоновой системы (1.1) на случай вырожденного структурного тензора с динамической точки зрения эквивалентно рассмотрению систем, представление которых в каноническом виде не очевидно заранее, но возможно (локально — это следствие теоремы Дарбу) на общем уровне функций Казимира или существующих у данной системы инвариантных соотношений, определяющих невырожденное пуассоново подмногообразие.