17. Случай вырожденного гамильтониана.

Уже неоднократно отмечалось, что механику Дирака можно использовать для гамильтонова описания вырожденных лагранжевых систем. Рассмотрим, в некотором смысле, взаимную задачу о лагранжевом описании вырожденной гамильтоновой системы.

Пусть для гамильтоновой системы на кокасательном расслоении ТМ

функция Гамильтона вырождена по импульсам, т. е.

При каких условиях система (17.1) допускает лагранжево описание, а закон движения может быть получен при помощи вариационного принципа?

Ответ на этот вопрос содержится в работах [18]. Изложим основные результаты, следуя [4].

Для перехода к обобщенным координатам и скоростям необходимо разрешить первое из уравнений (17.1) относительно импульсов. В силу уравнения (17.2) это возможно лишь при дополнительных условиях (связях)

Замечание 10. Уравнения (17.3) являются следствием того, что функции — при заданном гамильтониане Н обращаются тождественно в нуль.

Выполняя преобразования Лежандра

получим функцию Лагранжа, определенную на подмногообразии в ТМ, высекаемом уравнениями связей (17.3).

Теорема Функции являются решением гамильтоновой системы (17.1) тогда и только тогда, когда путь является экстремалью функционала

в классе кривых с закрепленными концами, удовлетворяющих уравнениям (17.3).

Уравнения движения могут быть получены методом множителей

Лагранжа. Варьируя функцию по q и А, находим

Для интегрируемых (голономных) связей , уравнения которых также можно представить в форме система (17.5) приводится к виду

где

Уравнения (17.6) в случае неинтегрируемых связей совпадает с классическим уравнением Рауса неголономной механики. Они могут быть получены из условия идеальности связей и принципа Даламбера-Лагранжа. Однако для неинтегрируемых связей их нельзя вывести из вариационного принципа Лагранжа. Этот факт давно известен в неголономной механике [28]. Обсуждение связанных с этой проблемой вопросов содержится, например, в [19, 10]. С точки зрения реализации связей уравнения (17.6) могут быть получены из свободной системы, находящейся под действием линейных по скоростям диссипативных сил (вязкое трение) с помощью предельного перехода, при котором коэффициенты вязкости в диссипативной функции Релея устремляются к бесконечности некоторым согласованным (анизотропным) образом. Этот факт был отмечен еще Каратеодори [34], и в некотором смысле дает обоснование корректности описания при помощи уравнений (17.6) динамических систем, в которых присутствуют качения без проскальзывания (именно такие системы и рассматриваются в неголономной механике).

Физический смысл уравнений (17.5) был прояснен в работах [18] и привел к вакономной модели механики с неинтегрируемыми связями. Движения, описываемые (17.5), являются предельными для лагранжевых систем, инерционные (массовые) характеристики которых (в форме кинетической энергии) устремляются к бесконечности также согласованным анизотропным образом. Такая реализация возможна при рассмотрении систем, движущихся в идеальной жидкости. Например, если в уравнениях Кирхгофа, описывающих движение тяжелого твердого тела в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости [32], присоединенные массы и моменты (обусловленные инерционностью жидкости) устремить к бесконечности некоторым определенным образом, то можно получить уравнения плоского движения пластинки, для которой выполняется неинтегрируемая связь, состоящая в том, что проекции скорости центра масс на ось, перпендикулярную к пластинке, равняется нулю. В неголономной постановке аналогичная задача носит название конька Чаплыгина [33]. При одинаковой связи решения вакономных (17.5) и неголономных уравнений отличаются друг от друга. Если в неголономном случае средняя высота постоянна, а движение происходит по циклоиде, то в вакономном случае получается более реалистическое описание падения пластинки в жидкости. Для него почти все движения стремятся к равномерному падению пластинки широкой

стороной вперед. При этом частота малых колебаний пластинки относительно этого устойчивого положения равновесия возрастает [20].

В некоторых учебниках, например в [24], не делается различия между вакономными и неголономными уравнениями, и задачи о падении тел в жидкости изучаются в неголономной постановке (например, падение круглого диска). Эти результаты вряд ли имеют значение для механики.

В книге [12] вообще классические задачи неголономной механики о качении разбираются с использованием вакономных уравнений, которые автор наивно постулирует, исходя из вариационного принципа Лагранжа. Естественно, что эти результаты также не имеют механического содержания. Следует, однако, отметить, что по сравнению с неголономной механикой количество содержательных примеров из вакономной механики очень мало. Отметим некоторые проблемы, которые ограничивают применимость уравнений (17.5).

Для уравнений (17.5) в случае неголономных связей наличие дополнительных слагаемых приводит к тому, что для их решения, помимо начальных положений и скоростей (удовлетворяющих условиям связи), необходимо также задавать начальные значения множителей Лагранжа. Физический смысл этих начальных данных, связанный с различными способами реализации связей обсуждается в [18]. В общем случае это приводит к тому, что решения уравнений (17.5) не удовлетворяют принципу детерминированности, а сам подход содержит скрытые (ненаблюдаемые) параметры.

Для натуральной вырожденной гамильтоновой системы рассмотрим более подробно связь решений с принципом детерминированности, согласно которому движение во все моменты времени полностью определяется начальными положениями и скоростями

Пусть

где — -матрица, для которой . Условия разрешимости (17.3) в этом случае линейны по скоростям

здесь — собственные векторы соответствующие нулевым собственным значениям. Пространство при этом расслаивается

на гиперплоскости для каждой точки которых отображение

приводит к одной и той же скорости .

Предложение Для всех начальных условий удовлетворяющих уравнениям (17.8), движение не зависит от выбора импульса тогда и только тогда, когда связи (17.6) интегрируемы.

Следовательно, гамильтонова система (17.7), для которой уравнения (17.8) неинтегрируемы, не подчиняется принципу детерминированности. Обобщение принципа детерминированности для вакономных систем содержится в [18].

Рассмотрим ряд простых примеров систем с вырожденным гамильтонианом.