11. Вырожденные лагранжианы и гамильтонов формализм со связями.

Введение рассмотренных дифференциально-геометрических конструкций в динамику может быть мотивировано проблемой перехода от лагранжева формализма к гамильтонову в случае вырожденности лагранжиана по скоростям. Именно из этой постановки исходил П. Дирак, развивая обобщенную гамильтонову механику для целей последующего квантования [14, 45].

Пусть задана лагранжева система

с вырожденной по скоростям функцией Лагранжа, т. е.

В этом случае уравнения (11.1) не могут быть разрешены относительно старших производных, а стало быть, вопрос о нахождении решений при произвольных начальных условиях не является вполне корректным. Оказывается, что более естественным является рассмотрение системы (11.1) в канонических переменных. Рецепт их введения, обобщающий преобразование Лежандра в невырожденном случае, также был предложен Дираком.

Если обычным образом ввести канонические импульсы

то вследствие (11.2) при обращении (11.3) можно выразить лишь часть скоростей

Оставшиеся уравнения задают соотношения между р, q, определяющие подмногообразие

(первичные связи по Дираку). Функция Гамильтона

при учете (11.4) и (11.5) зависит только от координат и импульсов [45]. С учетом того, что вариации подчиняются условию (11.5) и пользуясь вариационным принципом Гамильтона, уравнения движения можно представить в виде

Неопределенные множители А; находятся из условия сохранения связей (11.5) потоком системы (11.7):

Правые части (11.7) могут быть более просто записаны с использованием скобки Дирака

В зависимости от заданного лагранжиана L при решении уравнений (11.8) могут встретиться различные ситуации.

1) Системы (11.7), (11.8) несовместны в любой точке фазового пространства . В этом случае уравнения (11.7) не допускают решения при произвольных начальных условиях. В качестве примера можно рассмотреть систему с лагранжианом

2) Система (11.8) имеет единственное решение (достаточно единственности на подмногообразии N). При этом подмногообразие N является пуассоновым относительно скобки Дирака, а система (11.7) гамильтонова с функцией Гамильтона (11.6). Для всякой начальной точки на N система (11.9) допускает решение причем удовлетворяет также уравнениям Лагранжа (11.1).

3) Система (11.8) допускает бесконечно много решений Это возможно лишь при условии . В данном случае гамильтоново описание векторного поля, определяемое системой (11.1), на совместной поверхности уровня (11.5) невозможно. Среди связей необходимо выбрать для которых матрица скобок Пуассона невырождена, а коэффициенты определяются однозначно. Остальные связи будут являться интегралами движения получившегося поля, значения которых однозначно находятся из системы (11.3). Решения полученной системы при подстановке также удовлетворяют исходной лагранжевой системе (11.1).

4) Система (11.8) непротиворечива на некотором подмногообразии меньшей размерности, чем на многообразии (11.5). В этом случае появляются дополнительные связи (вторичные связи по Дираку). Рассматривая уже полный набор связей, приходим к одной из ситуаций 2) или 3). В связи с тем, что вторичные связи появляются как условия разрешимости системы (11.8), они не приведут к дополнительным неопределенным множителям Л и не сказываются на уравнениях движения (11.7).