33. Гравитационные волны

Рассмотрим область пустого пространства, в которой гравитационное поле слабое и g приблизительно постоянно. Тогда применимо уравнение (16.4) или

Введем гармонические координаты. Условие (22.2) с опущенным индексом Л дает

Продифференцируем это уравнение по и пренебрежем членами второго порядка. В результате получим

Поменяем местами р и

Сложим (33.1), (33.3) и (33.4):

Таким образом, каждая компонента удовлетворяет уравнению Даламбера, и решение этого уравнения будет состоять из волн, распространяющихся со скоростью света. Это и есть гравитационные волны.

Рассмотрим энергию таких волн. Вследствие того, что псевдотензор не является настоящим тензором, мы не получим в общем случае ясного результата, не зависящего от выбора системы координат. Однако в одном специальном случае, а именно когда все волны движутся в одном направлении, можно получить «чистый» результат.

Если все волны движутся в направлении оси , то координатную систему можно выбрать так, что будут зависеть только от одной переменной Рассмотрим более общий случай, когда все компоненты являются функциями одной переменной , где — константы, удовлетворяющие условию (в пренебрежении переменной частью ). Тогда имеем

(33.5)

где — производная от . Разумеется, . Из условия гармоничности (33.2) следует, что

где Это соотношение можно записать в виде

или

Из (33.5) находим

Выражение для L (26.3) в гармонических координатах сводится к следующему:

После раскрытия скобок получим девять членов, но нетрудно показать, что каждый из них обращается в нуль в соответствии с (33.6) и условием . Таким образом, плотность действия обращается в нуль. Аналогичный результат имеет место в электромагнитном поле, для которого в случае волн, распространяющихся только в одном направлении, плотность действия также обращается в нуль.

Теперь мы должны найти псевдотензор (32.3). Имеем

тогда

Следовательно, согласно (33.8) и (33.7)

В результате остается

Полученное для выражение имеет вид тензора. Это означает, что при преобразованиях координат, сохраняющих характер поля, так что остается функцией только от одной переменной (т. е. присутствуют только волны, распространяющиеся в одном направлении), преобразуется как тензор. Такие преобразования координат могут состоять только во введении координатных волн, движущихся в направлении . Их общий вид: где является функцией только . Когда имеются волны, движущиеся только в одном направлении, гравитационная энергия может быть локализована.