11. Тензор кривизны

Из формулы для дифференцирования произведения (10.8) видно, что в этом отношении ковариантное дифференцирование вполне аналогично обычному. Однако важное свойство обычного дифференцирования, которое заключается в том, что при действии двух операторов дифференцирования их порядок не имеет значения, для ковариантного дифференцирования в общем случае не сохраняется.

Начнем с рассмотрения скалярного поля S. Из (10.1) имеем

Полученное выражение симметрично по индексам так что в этом случае порядок операторов ковариантного дифференцирования не имеет значения.

Теперь подействуем двумя операторами ковариантного дифференцирования на вектор Из формулы (10.3) с вместо находим

Переставляя индексы р и а и вычитая получившееся выражение из предыдущего, получаем

где

Левая часть (11.2) является тензором. Следовательно, и правая часть (11.2) есть тензор. Это справедливо для произвольного вектора , поэтому, согласно теореме о частном (см. разд. 4), — тензор. Его называют тензором Римана-Кристоффеля, или тензором кривизны.

Тензор кривизны обладает очевидным свойством:

Из (11.3) непосредственно следует, что

Опустим индекс (3 на место первого нижнего индекса. Это даст

где обозначает предыдущие члены с переставленными местами р и а. Тогда из (7.6) получим

С учетом (7.5)

Теперь видны еще некоторые свойства симметрии тензора кривизны, а именно:

и

(118)

Результатом всех этих свойств симметрии является то, что из 256 компонент независимыми являются лишь 20.