8. Геодезические

Пусть точка с координатами движется по какой-либо траектории, тогда z является функцией некоторого параметра . Положим

Имеется, таким образом, вектор определенный в каждой точке траектории. Предположим, что при движении вдоль траектории вектор смещается посредством параллельного переноса. Тогда задание начальной точки и начального значения вектора определяет всю траекторию. Действительно, надо сместить начальную точку из затем посредством параллельного переноса сместить в эту новую точку вектор потом снова сместить точку в направлении, заданном новым вектором и т.д. Определена не только траектория, но и параметр вдоль нее. Траекторию, полученную таким способом, называют геодезической.

Если в начальной точке является нулевым вектором, то он останется нулевым вектором во всех других точках; в этом случае траекторию называют нулевой геодезической. Если и в начальной точке — времениподобный вектор то он останется времениподобным вектором во всех других точках, и мы имеем времениподобную геодезическую. Соответственно, если начальной точке является пространственно-подобным вектором , то он останется пространственно-подобным во всех других точках, и мы получим пространственно-подобную геодезическую.

Обратившись к уравнению (7.11) с получим уравнения геодезической:

или

(8.2)

Для времениподобной геодезической можно привести длину начального вектора к единице, умножив его на соответствующий множитель. Для этого потребуется лишь изменить масштаб . Теперь вектор всегда будет иметь единичную длину. Он представляет собой вектор скорости , а параметр становится собственным временем s.

Уравнение (8.1) приобретает вид

а уравнение (8.2) — вид

Предположим, что мировая линия частицы, не находящейся под воздействием каких-либо сил, кроме гравитационных, есть времени-подобная геодезическая. Это заменяет первый закон Ньютона. Уравнение (8.4) задает ускорение и является уравнением движения.

Предположим также, что траектория светового луча есть нулевая геодезическая. Она задается уравнением (8.2) с некоторым параметром вдоль траектории. Собственное время s в этом случае использовать нельзя, поскольку ds обращается в нуль.