9. Редукция Дирака.

Так как для поля ранг пуассоновой структуры (8.3) упал на единиц, то будем говорить, что произведена редукция первоначальной гамильтоновой системы . С алгебраической точки зрения, редуцированная структура, возможно, приобретает дополнительные дробно-рациональные слагаемые, определяемые формулой (8.3).

В курсах гамильтоновой механики обычно рассматривают редукцию гамильтоновой системы, обладающей дополнительными первыми интегралами. Если эти интегралы линейны по импульсам, то процесс редукции сводится к исключению циклической координаты и восходит к Э. Раусу. Соответствующие интегралы носят название циклических или нетеровских. Их существование, как правило, связано с явными симметриями динамической системы. Алгебраический аналог редукции Рауса, связанный с понижением ранга пуассоновой структуры изложен в [10]. Для нелинейных по импульсам интегралов (соответствующие симметрии называются «скрытыми») процесс понижения порядка обычно конструктивно не выполним.

Метод Дирака и соответствующая редукция относятся к динамическим системам, обладающими инвариантными соотношениями — как правило, нелинейными. Они могут изначально существовать у заданной гамильтоновой системы, а также получаться в результате выполнения некоторых предельных переходов.

Рассмотрим процедуру редукции Дирака в более общей форме.

Пусть . Тогда , то есть касательное пространство к и поля не порождают базис в пространстве векторных полей и , т.е. часть векторных полей касается .

Подходящим выбором функций в каждой точке матрица может быть приведена к виду

Допустим, что ранг равен . Тогда возможно корректно определить проекцию гамильтонова поля на подмногообразие . При этом , где — линейная оболочка полей на N. Полученное в результате проекции векторное поле являющееся гамильтоновым относительно скобки (8.3) на , имеет инволютивный набор интегралов движения . С использованием этого метода возможна редукция по симметриям (редукция Рауса), описанная в [10].

Описанная общая конструкция для вырожденной матрицы была также известна Дираку [37]. Игнорируя традиционный математический формализм (например, не используя теорему Фробениуса), он доказал интегрируемость полей на N. Функции , Дирак называл величинами первого рода, — величинами второго рода, придавая им различный физический смысл.

Замечание 6. Приведенная схема редукции может быть использована в теории некоммутативного интегрирования. Предположим, что гамильтонова система на симплектическом многообразии допускает инвариантное подмногообразие, задаваемое к функциями такими, что Разбивая функции на два соответствующих класса и ограничивая по Дираку систему на — -мерное симплектическое многобразие N, получим гамильтонову систему, обладающую инволютивными первыми интегралами. Она уже является интегрируемой по Лиувиллю в обычном смысле, а траектории являются квазипериодическими обмотками -мерных торов.

Замечание 7. В общем случае для гамильтоновой системы на , обладающей инволютивным набором интегралов

ограничение поля на поверхность уровня этих интегралов определяет векторное поле, не являющееся гамильтоновым по отношению к какой-либо пуассоновой структуре на (в частности, относительно структуры Дирака). Примером может служить невырожденная вполне интегрируемая гамильтонова система в шестимерном фазовом пространстве. Ее поток на трехмерном инвариантном многообразии не является гамильтоновым относительно любой пуассоновой структуры на нем.