16. Ньютоново приближение

Рассмотрим статическое гравитационное поле в статической системе координат. Тогда g постоянно во времени, т. е. . Далее, для должно выполняться условие:

Следовательно,

и является обратной матрицей по отношению к Латинские индексы всегда пробегают значения 1, 2, 3. Отсюда находим, что Ттоп , а тогда и .

Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью малой по сравнению со скоростью света. Тогда есть малая первого порядка. В пренебрежении величинами второго порядка малости получим, что

Частица движется по геодезической. Уравнение геодезической (8.3) с точностью до членов первого порядка дает

Но с точностью до членов первого порядка

Тогда с учетом (16.1) запишем

Поскольку не зависит от можно опустить индекс то, что даст соотношение

Видно, что частица движется так, будто она находится под воздействием потенциала . При получении этого результата никак не использовалось уравнение Эйнштейна. Теперь для сравнения эйнштейновской теории с ньютоновской учтем закон Эйнштейна, приводящий к определенным уравнениям для потенциала.

Предположим, что гравитационное поле является слабым, так что кривизна пространства-времени мала. Тогда можно выбрать систему координат, для которой кривизна координатных осей (для каждой из осей три координаты фиксированы) мала. В этом случае g в первом

приближении есть константа, и все символы Кристоффеля малы. Уравнение Эйнштейна (15.1) с точностью до членов первого порядка приобретает вид [см. (14.4)]

Сворачивая (11.6) по двум индексам с перестановкой р и и пренебрегая членами второго порядка малости, можно преобразовать это соотношение к следующему более удобному виду:

Положим теперь и используем условие независимости g от . Получим

Уравнение Даламбера (10.9) в приближении слабого поля принимает вид

В статическом случае это выражение сводится к уравнению Лапласа:

Уравнение (16.5) как раз и означает, что удовлетворяет уравнению Лапласа.

Можно выбрать единицу измерения времени так, чтобы мало отличалось от единицы. Тогда положим:

где V — мало. В этом случае и V становится потенциалом. Поскольку V удовлетворяет уравнению Лапласа, его можно отождествить с ньютоновским потенциалом, равным где — масса источника. Теперь видно, что (16.2) приводит к соотношению:

так как диагональные элементы . Значит, знак при V был выбран правильно.

Таким образом, закон Эйнштейна переходит в закон Ньютона, когда поле является слабым и статическим. Следовательно, результаты ньютоновской теории по объяснению движения планет остаются в силе. Приближение статичности оправдывается малостью скоростей планет по сравнению со скоростью света. Приближение слабого поля является хорошим, так как пространство очень незначительно отклоняется от плоского. Рассмотрим порядки некоторых величин.

Значение потенциала V на поверхности Земли оказывается порядка . Таким образом, из формулы (16.6) очень близко к единице. Но даже такое малое отличие от единицы приводит к значительным гравитационным эффектам, наблюдаемым на Земле. Взяв радиус Земли порядка найдем, что значение порядка Следовательно, отклонение пространства от плоского крайне мало. Однако, чтобы получить ускорение в гравитационном поле на поверхности Земли, нужно умножить это отклонение на квадрат скорости света, т.е. на Поэтому ускорение (около ) вполне ощутимо, хотя само отклонение пространства от плоского бесконечно мало, для того чтобы его можно было наблюдать непосредственно.