4. Редукция числа степеней свободы

Предположим, что некоторые первого рода содержат импульсные переменные лишь линейно с числовым коэффициентом. Хотя математически это — очень специальный случай, на практике он появляется часто и поэтому важен.

Тривиальной заменой переменных мы можем привести эти первого рода к виду

где зависят только от q. Условие принадлежности первому роду требует, чтобы СП величин слабо обращались в нуль. Эти СП могут зависеть только от q. В предположении, что нет зависящих только от q, эти СП должны обращаться в нуль сильно. Следовательно,

где F — некоторая функция, зависящая от q. Добавим теперь к лагранжиану член

это не изменит уравнений движения. К добавится так что примут вид

Продолжим работу с новым лагранжианом. Любую из не попадающую в (4.3), назовем могут быть как первого, так и второго рода. Не теряя общности, можно предположить, что не зависят от переменных . Можно предположить, что и Н не зависит от поскольку преобразованием (1.7) к другому Н первого рода всегда можно добиться этого. Поскольку — первого рода, мы имеем

и т.д. Следовательно, если вообще есть зависимость от она может быть лишь в виде

где слабо обращаются в нуль и не зависят от так что появляются только в коэффициентах Это означает, что условия эквивалентны условиям , не затрагивающим переменных . Число должно быть равно числу количеству не могут превышать поскольку все условия суть следствия условий плюс условий (4.4), которые сами являются следствиями

Если — первого рода, применение теоремы предыдущего раздела к показывает, что выражается через только первого рода, т. е. что коэффициенты в (4.5) можно сделать ненулевыми лишь для первого рода.

Проделав над Н такую же работу, как над мы находим, что

где как и не зависит от Поскольку Н — первого рода, мы можем заключить, что — первого рода и что любые из фигурирующих в — первого рода.

Посмотрим теперь, какой вид примет уравнение движения (3.3). Для g, совпадающей с одной из мы обнаруживаем, что произвольна, так что меняется произвольно. Для g, зависящей от переменных мы получаем уравнение движения вида

где первого рода. (В их число не обязательно попадают все первого рода.) Переменные в этом уравнении не появляются, а от могут зависеть лишь коэффициенты .

Предположим, что произвольные вариации можно получить, варьируя и те из коэффициентов в (3.3), которые связаны с иными, чем первого рода. На практике это предположение обычно оправдывается. Тогда мы можем считать в (4.7) произвольными коэффициентами, которые вместе с образуют основные гамильтоновы переменные. В общем уравнении движения больше не появляются. По своему характеру это уравнение столь же фундаментально, что и (3.3), но относится только к степеням свободы Таким образом, степени свободы выпали из теории.

Может оказаться, что некоторые из фигурирующих в (4.7), содержат импульсные переменные лишь линейно с численными коэффициентами. Тогда мы можем повторить всю процедуру и добиться дальнейшей редукции числа эффективных степеней свободы.

Литература

[1] Dirac P. A.M., Can. J. Math., 1950, V. 2, P. 129.

[2] Anderson J.L., Bergmann P.G., Phys. Rev., 1951, V. 83, P. 1018.