6. Условия самосогласованности

Для самосогласованности уравнения движения должны сохранять нулем каждую из . Таким образом, подставив вместо g в (5.4), мы получаем

Предположим, что уравнения (6.1) приведены к наиболее простому виду с помощью набора уравнений (2.4). При этом допускается сокращение множителей, когда их можно считать не обращающимися в нуль. Получившиеся уравнения должны быть одного из четырех типов.

Тип 1. Уравнение содержит некоторые из переменных

Тип 2. Уравнение не зависит от v, но содержит некоторые из переменных q и р. Таким образом, оно имеет вид

и не зависит от уравнений (2.4).

Тип 3. Уравнение сводится к

Тип 4. Уравнение сводится к

Уравнение типа 2 приводит к новому условию самосогласованности, так как должна сохранять нулевое значение. Подставив в (5.4) X вместо g, мы получаем

Это уравнение, приведенное к наиболее простому виду с помощью уравнений (2.4) и уже имеющегося уравнения (6.2), снова будет одним из четырех типов. Будучи уравнением типа 2, оно приведет еще к одному новому условию самосогласованности. Эта процедура продолжается для каждого уравнения типа 2, пока она не приведет к уравнению другого типа.

Если одно из полученных таким образом уравнений — типа 4, то уравнения движения противоречивы. Этот случай не представляет никакого интереса и в дальнейшем не рассматривается. Уравнения типа 3 удовлетворяются автоматически. В итоге в нашей теории остаются уравнения типов 1 и 2.

Обозначим полный набор уравнений типа 2:

Мы можем полагать, что функции подобно в (2.4) выбраны так, что их вариации порядка е. Тогда уравнения (6.4) корректно записываются как слабые уравнения. Эти новые слабые уравнения сужают область R, в которой слабые уравнения справедливы, понижая ее размерность до Окажется суженной и область так как теперь она будет состоять из точек, удаленных не более чем на расстояния порядка е от новой области

Для изучения уравнений типа 1 удобно ввести некоторые новые понятия. Назовем одну из величин величиной первого рода (first class ), если ее СП со всеми обращаются в нуль. Таким образом, — первого рода, если

Эти уравнения обязаны удовлетворяться только в слабом смысле, т.е. только как следствия уравнений Таким образом, каждая из левых частей (6.5) должна равняться в сильном смысле некоторой линейной комбинации Величину не удовлетворяющую всем этим условиям, мы называем величиной второго рода (second class ).

Мы можем подвергнуть величины линейному преобразованию

где — любые функции q и р, такие, что их детерминант не обращается в нуль в слабом смысле. Тогда для всех целей теории величины эквивалентны.

Проделаем преобразование такого типа с тем, чтобы обратить в величины первого рода как можно больше Получившиеся тогда первого рода обозначим второго рода — , где .

Если — первого рода, то уравнение (6.1) удовлетворяется автоматически. Далее, в уравнениях (6.1) и (6.3) мы можем оставить только второго рода, поскольку первого рода дают нулевой вклад. Таким образом, в уравнениях (6.1) и (6.3) выживают только члены

Это и есть все уравнения типа 1. Они показывают, что либо все обращаются в нуль, либо матрица

имеет ранг, меньший В (в слабом смысле).

Сейчас будет показано, что реализуется первая из альтернативных возможностей. Предположим, что матрица (6.8) имеет ранг Образуем детерминант

Он — линейная комбинция и поэтому обращается в нуль в слабом смысле. СП любой величины с D равна сумме детерминантов, образованных взятием СП каждого из столбцов (6.9) с . За исключением детерминанта с СП первого столбца с все они обращаются в нуль в слабом смысле, поскольку все элементы их первого столбца — нули в слабом смысле. Таким образом,

Если взять в качестве любую из первый столбец в (6.10) обращается в нуль, и поэтому . Если взять в качестве любую из или , то либо детерминант (6.10) имеет два одинаковых столбца и поэтому обращается в нуль, либо он есть минор матрицы (6.8) с строками и столбцами и обращается в нуль, поскольку ранг этой матрицы по предположению равен U. Таким образом, D имеет нулевую СП со всеми и

Может оказаться, что D обращается в нуль в сильном смысле — из-за того, что обращаются в нуль в слабом смысле алгебраические дополнения всех элементов его первого столбца. В этом случае мы возьмем другой детерминант D, со столбцами помимо первого, отвечающими любым U столбцам (6.8), и строками, отвечающими любым строкам (6.8). Благодаря предположению, что (6.8) имеет ранг U, мы всегда можем выбрать такой детерминант D, что не все алгебраические дополнения элементов его первого столбца обращаются в нуль. Таким образом, мы получаем D, являющийся величиной первого рода и одновременно линейной комбинацией . Это противоречит предположению, что ранее мы сделали величинами первого рода максимально возможное число .

Мы можем заключить, что если мы сделали величинами первого рода максимально возможное количество , то обращаются в нуль все v, ассоциированные с второго рода. Тогда гамильтониан (5.3) сводится к

а общее уравнение движения (5.4) приобретает вид

Обращение в нуль и уравнения (6.4) гарантируют, что все условия согласованности удовлетворяются; остаются полностью неопределенными. Каждый из них дает начало свободе в движении — произвольной функции в общем решении уравнений движения. В стандартном случае имеется в точности одна которая с необходимостью — первого рода, и поэтому имеется одна произвольная функция в общем решении уравнений движения. Это связано с произволом в независимой переменной .