12. Голономные связи. Сравнение с классическим описанием.

Описанная выше процедура отличается от классического гамильтонова формализма для системы с голономными связями в избыточных переменных [4]. Покажем, что обе эти конструкции приводят к одним и тем же уравнениям движения для позиционных переменных. Выбор того или иного описания различных задач определяется, как правило, дополнительными соображениями. Рассмотрим лагранжеву систему в

со связью (все результаты могут быть перенесены на случай и нескольких связей).

Уравнения движения (12.1) можно представить в форме

(122)

В классической схеме избыточного гамильтонова формализма [4] система (12.2) описывается уравнениями Гамильтона

с гамильтонианом , где — единичный вектор нормали к поверхности . Функция является первым интегралом уравнений . Канонические импульсы р не касаются поверхности тем не менее скорости, определяемые соотношениями , направлены по касательной.

Дифференцированием q уравнения (12.3) могут быть приведены к виду (12.2).

Выполним теперь преобразование Лежандра к каноническим переменным р, q без учета связи

Действуя по методу Дирака, дополним связь условием ее сохранения

Для функций всегда выполнено

Чтобы избежать вычисления скобки Дирака, векторное поле на поверхности найдем с помощью неопределенных множителей

где

Из условий равенства нулю производных вдоль решений (12.5) находим . Полагая находим, что система (12.5) также эквивалентна (12.2).

Таким образом, в классическом варианте гамильтонова формализма скобка остается канонической и меняется функция Гамильтона. В подходе Дирака, наоборот, меняется скобка, так что связи становятся функциями Казимира, а гамильтониан остается прежним (без учета связи).