Глава 3. Квантование на искривленных поверхностях

Мы исходили из классического принципа действия. Наш интеграл действия мы взяли лоренц-инвариантным. Из этого интеграла действия получили лагранжиан. Затем мы перешли от лагранжиана к гамильтониану и далее, следуя определенным правилам, к квантовой теории. Таким образом, мы начали с классической теории поля, в основе которой лежит принцип действия, и пришли в конце концов к квантовой теории поля. Вы могли бы подумать теперь, что на этом наша работа завершена. Имеется, однако, еще один важный вопрос, который необходимо рассмотреть, а именно: является ли наша квантовая теория поля, построенная таким способом, релятивистской теорией? При обсуждении можно ограничиться специальной теорией относительности. Итак, мы должны выяснить, согласуется ли наша квантовая теория со специальной теорией относительности.

Мы исходили из принципа действия и требовали, чтобы наш интеграл действия был лоренц-инвариантным. Этого достаточно для обеспечения релятивистского характера нашей классической теории. Уравнения движения, вытекающие из лоренц-инвариантного принципа действия, обязаны быть релятивистскими уравнениями. Правда, когда мы преобразовываем эти уравнения движения к гамильтоновой форме, то нарушаем четырехмерную симметрию. Мы представляем наши уравнения в виде (1.21)

Здесь точка сверху означает операцию d/dt и относится к одному абсолютному времени, так что классические уравнения движения в гамильтоновой форме не являются релятивистскими по внешнему виду, но мы знаем, что они должны быть релятивистскими по существу, потому что они выведены на основе релятивистских допущений.

Однако при переходе к квантовой теории мы делаем новые предположения. Выражение для , которое мы имеем в классической теории, не определяет квантовый гамильтониан однозначно. Мы должны решить, в каком порядке расположить некоммутирующие сомножители в квантовой теории. Выбор этого способа упорядочения находится в нашем распоряжении, и поэтому мы принимаем новые допущения. Эти новые допущения могут нарушить релятивистскую инвариантность теории, так что квантовая теория поля, полученная с помощью этого метода, не обязательно будет согласовываться с требованиями теории относительности. Теперь перед нами стоит задача выяснить, каким образом мы можем обеспечить релятивистский характер нашей квантовой теории.

С этой целью вернемся к исходным принципам. Уже недостаточно рассматривать только одну временную переменную, отвечающую одному частному наблюдателю; мы обязаны включить в рассмотрение различных наблюдателей, движущихся друг относительно друга. Мы должны построить квантовую теорию, в равной мере пригодную для любого из этих наблюдателей, т.е. для произвольного выбора оси времени. Чтобы создать теорию, которая могла бы включать различные временные оси, мы должны сначала получить соответствующую классическую теорию и затем по стандартным правилам перейти от этой классической теории к квантовой.

Я хотел бы вернуться к начальной стадии развития нашего гамильтонова формализма и рассмотреть частный случай. Мы начинали с того, что выбирали лагранжиан L, являющийся функцией динамических координат и скоростей q и q, вводили импульсы, а затем определяли гамильтониан. Возьмем теперь частный случай, когда L представляет собой однородную функцию первого порядка от скоростей q. Тогда по теореме Эйлера

Отсюда сразу следует, что Таким образом, мы получаем здесь гамильтониан, равный нулю.

В этом случае у нас обязательно есть первичные связи. Одна первичная связь определенно существует, так как импульсы р являются однородными функциями нулевого порядка от скоростей, т. е. функциями

только отношений скоростей. Число импульсов р равно N — числу степеней свободы, а число отношений скоростей есть функций от N — 1 отношений скоростей не могут быть независимыми. Должна быть по крайней мере одна функция р и q, которая равна нулю, т.е. должна существовать по крайней мере одна первичная связь. Их вполне может быть больше, чем одна. Ясно также, что если при равном нулю гамильтониане мы имеем вообще какое-нибудь движение, то должна существовать по крайней мере и одна первичная связь первого рода.

Для полного гамильтониана мы имеем выражение

Гамильтониан Н должен быть величиной первого рода, и, так как О, несомненно, является величиной первого рода, мы можем взять Н = 0. В таком случае наш полный гамильтониан целиком составлен из первичных связей первого рода с произвольными коэффициентами

откуда видно, что должна существовать по крайней мере одна первичная связь первого рода, если мы вообще хотим иметь какое-нибудь движение.

Уравнения движения выглядят тогда следующим образом:

Очевидно, все величины g можно умножить на произвольный множитель, так как коэффициенты v произвольны, и, следовательно, в них всегда можно включить этот множитель. Умножение же всех dg/dt на некоторую величину означает, что мы переходим к другой шкале отсчета времени. Таким образом, в этом случае мы имеем гамильтоновы уравнения движения, в которых шкала отсчета времени произвольна. Мы могли бы ввести другую временную переменную вместо t и получить, используя , уравнения движения вида

Итак, мы имеем теперь гамильтонову систему уравнений движения, в которой отсутствует абсолютная временная переменная. Любую

переменную, монотонно возрастающую с увеличением t, можно использовать в качестве времени, и уравнения движения останутся той же самой формы. Таким образом, для гамильтоновой теории, в которой гамильтониан Н равен нулю и вообще любой гамильтониан слабо равен нулю, характерной чертой является отсутствие абсолютного времени.

Мы можем подойти к рассматриваемому вопросу также с точки зрения принципа действия. Если I — интеграл действия, то

ибо L является однородной функцией первого порядка от Поэтому мы можем выразить интеграл действия через совершенно в том же виде, как и через t. Это показывает, что уравнения движения, вытекающие из принципа действия, должны быть инвариантны относительно перехода — уравнения движения не связаны ни с каким абсолютным временем.

Мы имеем, таким образом, специальную форму гамильтоновой теории; однако на самом деле эта форма является не такой уж специальной, ибо при любом исходном гамильтониане всегда можно взять временную переменную в качестве добавочной координаты и преобразовать теорию к такой форме, в которой гамильтониан слабо равен нулю. Делается это по следующему общему правилу. Мы берем время t и считаем его новой динамической координатой, обозначаемой . Строим новый лагранжиан

Здесь L содержит на одну степень свободы больше, чем исходный лагранжиан L. Лагранжиан L не равен L, но

Поэтому действие оказывается тем же самым, выражается ли оно через или через L и t. Таким образом, для любой динамической системы мы можем рассматривать время как добавочную координату до и затем перейти к новому лагранжиану L, содержащему на одну степень свободы больше и представляющему собой однородную функцию

первого порядка от скоростей. Лагранжиан L дает нам гамильтониан, равный нулю в слабом смысле.

Этот специальный случай гамильтонова формализма, когда гамильтониан слабо обращается в нуль, и есть то, что нам нужно для релятивистской теории, поскольку мы не хотим в релятивистской теории иметь какое-нибудь одно выделенное время, играющее особую роль; желательно иметь возможность рассматривать различные времена , которые все должны быть равноправны. Посмотрим теперь более подробно, как можно воспользоваться этой идеей.

Мы хотим рассмотреть состояния в некоторых заданных системах отсчета времени, отвечающих различным наблюдателям. Теперь изобразим пространство-время так, как показано на рис. 1. Состояние в определенный момент времени задается физическими условиями на трехмерной плоской пространственноподобной поверхности ортогональной оси времени. Состояние в другие моменты времени характеризуется физическими условиями на других поверхностях .

Рис. 1

Далее мы хотим ввести другие системы отсчета времени, отвечающие различным наблюдателям, и состояние, рассматриваемое относительно новых временных осей, будет характеризоваться физическими условиями на других плоских пространственноподобных поверхностях типа Мы хотим иметь такую гамильтонову теорию, которая давала бы нам возможность переходить от состояния, скажем, к состоянию . Исходя из заданных начальных условий на поверхности и используя уравнения движения, мы должны суметь получить физические условия на поверхности Таким образом, движению поверхности должны отвечать четыре степени свободы; одна, соответствующая перемещению поверхности параллельно самой себе, и, кроме того, три степени свободы, соответствующие произвольному изменению направления нормали к этой плоской поверхности. Это означает, что в решение уравнений движения, которые мы стремимся отыскать, будут входить четыре произвольные функции. Таким образом, нам нужна гамильтонова теория (по крайней мере) с четырьмя первичными связями первого рода.

Могут существовать и другие первичные связи первого рода, если имеются степени свободы движения иного типа, например, если возможны градиентные преобразования электродинамики. Чтобы упростить обсуждение, я пренебрегу этой возможностью существования других первичных связей первого рода и буду рассматривать только те связи, которые обусловлены требованиями теории относительности.

Мы могли бы продолжить построение теории, относящейся к этим плоским пространственноподобным поверхностям, которые могут двигаться с четырьмя степенями свободы, но мне бы хотелось рассмотреть сначала более общую теорию, в которой мы будем интересоваться состоянием, определенным на произвольной искривленной пространственноподобной поверхности типа S на рис. 2. Она представляет собой трехмерную поверхность в пространстве-времени, обладающую тем свойством, что она везде пространственноподобна, т. е. нормаль к поверхности находится внутри светового конуса.

Рис. 2

Мы можем построить гамильтонову теорию, описывающую изменение физических условий при переходе от какой-либо одной искривленной пространственноподобной поверхности к другой, близлежащей.

Вводить в рассмотрение искривленные поверхности, однако, вовсе не обязательно с точки зрения специальной теории относительности. Если бы мы хотели включить в нашу теорию гравитационные поля и принципы общей теории относительности, то тогда использование этих искривленных поверхностей имело бы полный смысл, но в случае специальной теории относительности искривленные поверхности не обязательны. Однако я предпочитаю ввести их на данном этапе уже при обсуждении в рамках специальной теории относительности, так как я считаю, что объяснить основные идеи легче при использовании искривленных поверхностей, а не плоских. Объясняется это тем, что, работая с такими искривленными поверхностями, мы можем производить локальные деформации поверхности, подобные на рис. 2, и исследовать изменения уравнений движения, связанные с этими локальными деформациями поверхности.

Один из возможных путей дальнейшего развития таков: мы можем задать интеграл действия на совокупности искривленных поверхностей типа S, найти разность интегралов действия для двух соседних поверхностей, разделить эту разность на некоторый параметр , служащий мерой расстояния между двумя соседними поверхностями, взять этот результат в качестве нашего лагранжиана и затем, применив наш стандартный метод, перейти от лагранжиана к гамильтониану. Наш лагранжиан обязательно был бы однородной функцией первого порядка от скоростей, выраженных в виде производных по временному параметру , характеризующему переход от одной из этих простран-ственноподобных поверхностей к другой, соседней. В результате мы пришли бы к гамильтоновой теории с гамильтонианом, слабо равным нулю.

Однако я не хочу проделывать всю эту работу и вдаваться в подробности процедуры, в основе которой лежит принцип действия. Я хочу сократить этот путь и обсудить характер получающейся в конечном счете гамильтоновой теории. Мы можем извлечь довольно много сведений относительно характера гамильтоновой теории просто из того, что, как мы знаем, должны существовать степени свободы, отвечающие произвольному движению пространственноподобной поверхности, при условии, что она всегда остается пространственноподобной. Этим степеням свободы, отвечающим движению пространственноподобной поверхности, должны соответствовать в гамильтониане первичные связи первого рода, по одной первичной связи первого рода для каждого типа элементарных движений поверхности, которые можно ввести. Я разовью теорию с этой точки зрения.

Прежде всего мы должны ввести подходящие динамические переменные. Будем описывать точку на пространственноподобной поверхности S тремя криволинейными координатами . Чтобы задать положение этой пространственноподобной поверхности в пространстве-времени, введем другой набор координат , в качестве которых мы можем взять прямолинейные ортогональные координаты специальной теории относительности. (Я использую заглавную букву для индекса, относящегося к у-координатной системе, и строчную букву, например , для индекса, относящегося к x-координатной системе.) Четыре функции переменных будут характеризовать поверхность S в пространстве-времени, а также и способ ее параметризации, т.е. систему координат .

Мы можем использовать эти в качестве динамических координат q. Введем величину

она будет функцией динамических координат q. Далее введем

где — параметр, изменяющийся при переходе от одной поверхности к другой, соседней; это даст нам скорость q. Итак, переменные являются динамическими координатами, необходимыми для описания поверхности, и — скоростями.

Нам понадобится ввести импульсные переменные сопряженные с этими динамическими координатами. Импульсные переменные будут связаны с координатами СП-соотношениями

Нам будут нужны другие переменные для описания любых физических полей, имеющихся в задаче. Если мы имеем дело со скалярным полем V, то функция для всех значений даст нам новые динамические координаты q. Частные производные будут функциями q. Величина будет скоростью. Производная от V по любому направлению выражается через , т.е. выражается через динамические координаты и скорости. Лагранжиан будет содержать эти производные V по произвольным направлениям и потому будет функцией динамических координат и скоростей. Для каждого V нам потребуется сопряженный импульс U, удовлетворяющий СП-соотношениям

Таким способом трактуется скалярное поле. Аналогичный метод с введением необходимых добавочных индексов пригоден для векторных, тензорных или спинорных полей. Нам нет нужды рассматривать это особо.

Исследуем теперь, каким будет гамильтониан. Гамильтониан должен быть линейной функцией первичных связей первого рода типа (3.2). Прежде всего мы должны выяснить, каков вид первичных

связей первого рода. Должны существовать первичные связи первого рода, соответствующие произвольным деформациям поверхности. Чтобы обеспечить изменение динамических координат у, эти связи должны содержать переменные w, сопряженные с у, и в них будут входить другие переменные поля. Мы можем выразить такие связи в виде

где — некоторая функция гамильтоновых переменных q и р, не зависящая явно от .

Мы можем утверждать, что гамильтониан представляет собой просто произвольную линейную функцию всех величин (3.10)

Интегрирование здесь проводится по трем координатам определяющим точку на поверхности; с — произвольные функции трех и времени.

Общее уравнение движения, конечно, выглядит как g к . Смысл коэффициента можно выяснить, если взять это уравнение движения и положить в нем функцию g равной одной из переменных у. Для в некоторой заданной точке мы получаем

Здесь штрих при переменных поля или означает, что берутся значения этих величин в точке . Скобка Пуассона равна нулю, так как не зависит от w, поэтому нужно взять скобку Пуассона только . Это даст нам дельта-функцию, и, следовательно,

Таким образом, коэффициенты оказываются величинами типа скоростей, описывающими изменение нашей поверхности с изменением параметра т. Выбирая эти произвольным образом, мы можем получить произвольное изменение поверхности в зависимости от т.

Это позволит нам представить вид гамильтониана в теории поля, развитой для состояний на искривленных поверхностях.

Мы можем несколько глубже проанализировать свойства этого гамильтониана, разлагая входящие в него векторы на компоненты, нормальные и тангенциальные к поверхности. Для любого вектора можно определить его нормальную компоненту

где — единичный вектор нормали, и тангенциальные компоненты (отнесенные к x-координатной системе)

Векторы I определяются величинами и поэтому являются функциями динамических координат. Любой вектор можно разложить таким путем на составляющие — нормальную к поверхности и тангенциальные. Скалярное произведение определяется как

где — элемент метрики поверхности, записанный в x-координатной системе. Матрица является обратной по отношению к .

Используя определение скалярного произведения (3.14), мы можем выразить наш полный гамильтониан через тангенциальные и нормальные компоненты w и К:

Здесь

Нам понадобится знать СП-соотношения между нормальными и тангенциальными членами выражения (3.15). Я выпишу сначала СП-соотношения для различных компонент w. Мы имеем, очевидно,

Эта форма записи связана с внешними координатами у; но когда мы разложим наши величины w на нормальные и тангенциальные компоненты, скобки Пуассона их друг с другом уже больше не будут равны нулю. Скобки Пуассона нетрудно раскрыть путем прямого расчета.

Я не хочу вдаваться в детали этой выкладки. Упомяну только, что подробный расчет можно найти в моей работе. Результаты таковы:

Мы знаем также, что

Отсюда можно вывести следующее:

Эти результаты можно было бы получить непосредственно на основе определений нормальных и тангенциальных компонент величин w, но проще их вывести с помощью следующих соображений. Так как все величины относятся к первому роду, их скобки Пуассона слабо обращаются в нуль. Поэтому

и

все должны быть равны нулю в слабом смысле. Мы можем теперь выяснить, чему они равны в сильном смысле. Мы должны добавить в правые части величины, слабо равные нулю и, следовательно, построенные из с некоторыми коэффициентами. Далее, раскрывая члены в правых частях, содержащие w, мы

сможем найти эти коэффициенты. Члены, содержащие могут появиться только из скобок Пуассона w с w (см. (3.17)-(3.19)). Составив скобку Пуассона , мы не получим никаких членов с ибо при этом мы имеем скобку Пуассона -импульса с некоторыми функциями динамических координат и импульсов, отличающихся от а это не может дать импульсных переменных Аналогично скобка Пуассона К с К не будет содержать никаких переменных Поэтому единственными величинами появляющимися в правой части (3.21), будут те, которые стоят справа в (3.17). Нужно ввести еще некоторые члены в правую часть (3.21), чтобы все выражение в целом слабо обращалось в нуль. Какие именно члены мы должны добавить, совершенно ясно — это Аналогичным образом определяются правые части (3.22) и (3.23).

Другой вопрос, которого стоит коснуться, связан с членами в полном гамильтониане (3.15). Они соответствуют такому движению, при котором изменяется система координат на искривленной поверхности, но не сама поверхность. Этому отвечает движение каждой точки поверхности по касательной к ней.

Положим Это означает, что поверхность не движется в направлении, перпендикулярном к ней, а просто происходит изменение координат поверхности. В таком случае мы имеем уравнения движения типа

Такой вид должно иметь уравнение движения, описывающее изменение g при преобразовании системы координат на неподвижной поверхности. Однако такое изменение g должно быть тривиальным; его можно определить, просто используя геометрические свойства динамической переменной g. Если g — скалярная величина, то тогда нам известно, как она изменяется при изменении системы координат Если g — компонента вектора или тензора, характер ее изменения установить несколько сложнее, но все же можно; аналогично, если g — спинор. В любом случае это изменение g, по существу, тривиально. Это означает, что можно определить из одних только геометрических соображений.

Я покажу это на одном или двух примерах. В случае скалярного поля V с сопряженным импульсом U в имеется член

Для векторного поля, скажем, трехмерного вектора сопряженным которому является имеется член

аналогично получаем для тензоров; выражения для спиноров несколько сложнее. Первое слагаемое в (3.26) описывает изменение возникающее из-за трансляции, связанной с изменением координатной системы, второе слагаемое описывает изменение за счет вращения, также связанного с преобразованием системы координат. В случае скаляра подобный член, отвечающий вращению, в (3.25) отсутствует.

Мы можем получить полное выражение для суммируя вклады от всевозможных полей, имеющихся в задаче. В результате мы увидим, что эту тангенциальную компоненту К можно найти просто из геометрических соображений. Отсюда ясно, что тангенциальная компонента К не имеет реального физического значения, она определяется только формой математического аппарата. Величиной, существенной с физической точки зрения, является нормальная компонента К в (3.15). Эта нормальная компонента К в сумме с нормальной компонентой w даст нам связь первого рода, отвечающую движению поверхности нормально к себе самой. Это уже величина, важная с точки зрения динамики.

Проблема построения гамильтоновой теории поля для состояний на этих искривленных поверхностях включает вопрос об определении выражений для К, удовлетворяющих необходимым СП-соотношениям (3.21)-(3.23). Тангенциальную составляющую можно, как мы обсудили, найти из геометрических соображений; она, конечно, должна удовлетворять СП-соотношению (3.21). В СП-соотношение входит линейно; этому соотношению будет удовлетворять любая величина представляющая собой скалярную плотность. Таким образом, для выполнения этого СП-соотношения вполне достаточно, чтобы величина преобразовывалась подходящим образом при изменении системы координат . Соотношению (3.23), квадратичному по удовлетворить трудно. Поэтому проблема формулировки гамильтоновой теории поля в случае искривленных пространственноподобных поверхностей сводится теперь к задаче отыскания нормальной компоненты величины К, являющейся скалярной плотностью и удовлетворяющей СП-соотношению (3.23).

Один из возможных путей определения такой нормальной компоненты К основан на использовании лоренц-инвариантного принципа действия. Исходя из принципа действия, мы могли бы получить все компоненты К. Действуя таким образом, мы получили бы тангенциальную компоненту К не обязательно такой же, как прежде, составленной из членов типа (3.25) и (3.26), из-за возможного изменения, связанного с контактным преобразованием. Однако эффект такого контактного преобразования можно исключить, переписав принцип действия, добавляя в интеграл действия полный дифференциал. Это не окажет влияния на уравнения движения. С помощью такого изменения принципа действия можно добиться того, чтобы тангенциальная компонента К, полученная из принципа действия, точно совпала со значением, найденным с помощью простых геометрических соображений. Затем мы можем определить нормальную компоненту К, используя наш общий метод перехода от принципа действия к гамильтониану. Если принцип действия релятивистски инвариантен, то нормальная компонента К, полученная таким способом, должна удовлетворять условию (3.23).

Мы можем теперь обсудить переход к квантовой теории. В процессе квантования мы преобразуем величины w и переменные, входящие в К, в операторы. Теперь мы должны быть осторожны при выборе способа определения тангенциальных и нормальной компонент w, и я определяю их следующим образом:

т. е. помещаю импульсную переменную w справа. (Вы знаете, что в квантовой теории результаты будут различными в зависимости от того, справа или слева мы поставим w.) Аналогично

Тем самым эти величины полностью определены.

Далее, в квантовой теории мы имеем слабые уравнения , дающие нам, согласно (2.22), дополнительные условия для волновой функции:

Потребуем, чтобы эти дополнительные условия были непротиворечивы. Согласно (2.25) мы должны добиться того, чтобы в перестановочных соотношениях (3.21)-(3.23) коэффициенты в правых частях стояли перед связями (слева от них).

В случае тангенциальных компонент условия (3.21) будут выполнены, если мы подберем порядок следования сомножителей в так, чтобы импульсные переменные всегда находились справа. В (3.21) у нас есть ряд величин, которые линейны по импульсным переменным, причем последние находятся справа; коммутатор любых двух таких величин снова будет линеен по импульсным переменным, и они снова будут стоять справа. Поэтому импульсные переменные всегда будут оказываться справа, и все входящие сомножители всегда будут располагаться в желательном порядке.

Теперь мы должны рассмотреть задачу упорядочения в компоненте с которой столь просто разделаться не удается. Нормальная компонента обычно содержит произведение некоммутирующих сомножителей, и нужно расставить их так, чтобы условия (3.22) и (3.23) выполнялись, причем в каждом члене в правой части коэффициенты должны находиться слева. С уравнением (3.22) особых затруднений не возникает. Все, что нам нужно, это просто взять в виде скалярной плотности, так как стоящая в правой части величина не имеет при себе никаких некоммутирующих с ней коэффициентов; единственным коэффициентом служит дельта-функция, которая является с-числом, а не оператором.

Однако с соотношением (3.23) дело обстоит уже не так просто. Его правую часть при рассмотрении квантовой теории следует выписать в более развернутом виде:

Я записал это соотношение с коэффициентами стоящими слева, и именно таким образом они должны быть расположены в квантовой теории.

При построении квантовой теории поля для состояний на произвольных искривленных поверхностях необходимо определить такую величину для которой имеет место СП-соотношение (3.31) с коэффициентами стоящими слева. Если (3.31) выполняется, то дополнительные

условия (3.30) непротиворечивы, а мы уже выяснили, что условия (3.29) не противоречат друг другу и что (3.30) согласуется с (3.29).

Итак, мы сформулировали условия, при выполнении которых наша квантовая теория будет релятивистской. Нужно, конечно, известное везение, чтобы нам удалось удовлетворить этим условиям. Мы не можем сделать это в общем случае. Имеется одно важное общее правило, которое состоит в том, что если нам удалось найти величину удовлетворяющую этим и некоторым другим условиям, то нетрудно построить и другие удовлетворяющие рассматриваемым условиям. Допустим, что мы имеем решение, в котором К содержит только недифференцируемые импульсные переменные вместе с динамическими переменными, которые могут находиться под знаком производной. Существует ряд простых полей, для которых удовлетворяет СП-соотношениям (3.22) и (3.23) и имеет указанный простой вид. Тогда мы можем прибавить к произвольную функцию недифференцируемых переменных q. Иначе говоря, мы берем новую величину

Очевидно, что добавление к этого члена может повлиять на правую часть (3.31) и там появится величина, пропорциональная дельта-функции. Мы не можем получить никаких производных от дельта-функции, ибо добавочные члены происходят от скобок Пуассона функции с недифференцируемыми импульсными переменными. Поэтому единственным изменением правой части в результате добавления к члена может быть появление слагаемого, кратного дельта-функции. Но правая часть должна быть антисимметричной относительно перестановки ибо левая часть, очевидно, обладает этим свойством. Это обстоятельство как раз и исключает возможность появления величины, пропорциональной дельта-функции, в правой части (3.31), так что она вовсе не изменится. Поэтому, если исходная величина удовлетворяет СП-соотношению (3.31), то тогда и новая величина будет обладать тем же свойством.

Чтобы завершить доказательство, нужно принять во внимание еще одно обстоятельство. Величина может также содержать . Прямым расчетом нетрудно проверить, что содержит недифференцируемую и поэтому наше рассуждение останется в силе, если включить Г в . Фактически мы должны это

сделать, иначе мы нарушим справедливость соотношения (3.22), требующего, чтобы были скалярными плотностями. Мы, таким образом, обязаны добавить Г в нужной степени, чтобы сделать скалярной плотностью.

Этот метод обычно используется на практике при введении в рассмотрение взаимодействия между полями, не нарушающего релятивистского характера теории. Для различных простых полей указанные условия оказываются выполненными. В таких случаях мы имеем необходимый нам элемент удачи, так что мы можем учесть взаимодействие между полями описанного простого вида, и условия, обеспечивающие релятивистский характер квантовой теории, не будут нарушены.

Существует несколько примеров, в которых нам не сопутствует необходимое везение, и нам не удается так расположить сомножители в , чтобы было справедливо соотношение (3.31) с коэффициентами, стоящими слева. В таком случае мы не знаем, как провести квантование теории для состояний на искривленных поверхностях. Но на самом деле мы пытаемся достичь значительно большего, чем необходимо, когда ставим перед собой задачу построения квантовой теории для состояний на искривленных поверхностях. В целях развития теории, согласующейся со специальной теорией относительности, вполне было бы достаточно ограничиться состояниями, определенными только на плоских поверхностях. Это приведет к некоторым условиям, налагаемым на не столь жестким, как те, что я сформулировал здесь. И, по всей вероятности, мы сможем удовлетворить этим менее жестким условиям, не будучи в состоянии удовлетворить условиям, приведенным выше.

Таким примером служит электродинамика Борна-Инфельда, которая является модификацией электродинамики Максвелла и основывается на интеграле действия, совпадающем с максвелловским в случае слабых полей, но отличающемся от него для сильных полей. Электродинамика Борна-Инфельда приводит к классическому выражению для содержащему квадратные корни. Это выражение имеет такой вид, что удовлетворить условиям, необходимым для построения релятивистской квантовой теории на искривленных поверхностях, кажется невозможным. Однако представляется возможным построить теорию на плоских поверхностях, когда эти условия оказываются менее ограничивающими.