3. Криволинейные координаты

Теперь перейдем к системам криволинейных координат. Рассмотрим величины, локализованные в точке пространства-времени. Это могут быть многокомпонентные величины с компонентами, отнесенными к координатным осям в данной точке. Если подобная величина существует во всех точках пространства, ее называют полевой величиной.

Полевую величину Q (или одну из ее компонент, если их несколько) можно продифференцировать по любой из четырех координат. Запишем результат:

Нижний индекс через запятую всегда будет обозначать такую производную. Индекс помещен внизу, так как верхний индекс в левой части находится в знаменателе. Изменение Q при переходе от точки к близлежащей точке имеет вид

Видно, что условие баланса индексов выполнено.

Нам понадобятся локализованные в точке векторы и тензоры с компонентами, отнесенными к координатным осям в этой точке. При преобразованиях координат компоненты таких величин преобразуются по тому же закону, что и в предыдущем разделе, но зависящему от преобразования координат в рассматриваемой точке. Получим, как и прежде, величины с нижними и верхними индексами. Однако они больше не константы, а меняются от точки к точке, т. е. являются полевыми величинами.

Рассмотрим результат специального преобразования координат.

Пусть каждая из новых криволинейных координат есть функция четырех Удобнее писать где штрих стоит при индексе, а не при основном символе.

Варьируя , получаем четыре величины , образующие контравариантный вектор. Компоненты этого вектора в новых координатах, согласно (3.1), имеют вид

Отсюда получаем закон преобразования любого контравариантного вектора

Переставив новую и исходную системы координат и изменив индексы, получим

Из свойств дифференцирования в частных производных известно, что [в обозначениях (2.5)]

Таким образом,

Это позволяет увидеть согласованность (3.2) и (3.3), так как подстановка (3.2) в правую часть (3.3) дает

Чтобы выяснить, как преобразуется ковариантный вектор используем условие инвариантности величины . С учетом (3.3) запишем:

Этот результат должен оставаться справедливым для всех значений четырех величин поэтому, приравняв коэффициенты при можно получить

Формулы (3.2) и (3.5) позволяют теперь преобразовывать произвольный тензор с любым числом верхних и нижних индексов. Коэффициенты типа как раз и должны быть использованы для каждого верхнего и нижнего индекса соответственно с соблюдением баланса индексов, например:

Любая величина, преобразующаяся по такому закону, есть тензор. Соотношение (3.6) можно считать определением тензора.

Заметим, что для тензора существенна симметрия или антисимметрия по индексам типа , так как это свойство сохраняется при преобразовании координат.

Формулу (3.4) можно переписать в виде

откуда следует, что есть тензор. Для произвольных векторов имеем

Так как это справедливо для всех значений заключаем, что

Отсюда следует, что является тензором. Аналогично можно показать, что g — тензор. Эти величины называют фундаментальными тензорами.

Произвольную скалярную полевую величину можно считать как функцией четырех так и функцией четырех Согласно свойствам операции дифференцирования в частных производных

Следовательно, преобразуется, как из уравнения (3.5), и, таким образом, производная от скалярного поля является ковариантным векторным полем.