16. Предельные переходы в уравнениях Эйлера—Пуассона.

Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в лагранжевом виде можно записать в виде уравнений Пуанкаре на группе (см. [10])

лагранжиан задачи в случае осесимметричного твердого тела можно представить в форме

где характеризует отношение моментов инерции осесимметричного тензора инерции, — координаты центра масс. При (обоснование возможности придать механический смысл этому предельному переходу см. в [22]) обычный переход от уравнений Пуанкаре (16.1) к уравнениям Пуанкаре-Четаева с помощью преобразования Лежандра теряет смысл и получается «первичная» связь

Введем функцию Гамильтона, выраженную через

При этом скобка Пуассона определяется алгеброй . Полагая , получим условие совместности

И вторичную связь .

Определим новый гамильтониан Из условия совместности связей

получим (как отмечалось в §9 гл. 1, вторичная связь не сказывается на уравнениях движения). Можно составить уравнения движения, пользуясь скобкой Дирака, вычисленной по формуле (8.3) и гамильтонианом Н

или, записывая уравнения движения на алгебре с функцией Гамильтона Н. В обоих случаях получим систему

имеющей, кроме интеграла энергии и связей, геометрический интеграл и интеграл площадей

Из (16.6) вытекает, что и поэтому . Выражая , получим уравнение для :

которое можно записать в лагранжевой (гамильтоновой) форме с одной степенью свободы:

Система (16.8) эквивалентна приведенной системе для сферического маятника в осесимметричном поле . Качественный анализ решения (16.7) содержится в [22], где разобранная задача и редукция Дирака рассматриваются в канонических переменных.

При в (16.3) задача Дирака имеет бесконечное множество решений (А произвольно). В этом случае — первый интеграл, поэтому редукция Дирака должна быть заменена редукцией по симметриям. Однако, если произвести предельный переход непосредственно в лагранжевой форме (16.1), предположив, что

(16.9)

и , получим уравнения «ограниченной задачи динамики твердого тела». Физический смысл предельного перехода и геометрическая

интерпретация движения в этой задаче обсуждаются в [15, 21].

Уравнения (16.10) при z = 0 исследованы в [21], где методом расщепления сепаратрис показана их неинтегрируемость, в [9] приведены картинки стохастического поведения.