6. Параллельный перенос

Пусть вектор локализован в точке Р. Если пространство кривлено, понятие параллельного вектора в другой точке Q лишено смысла, в чем легко убедиться на примере искривленного двухмерного пространства в трехмерном евклидовом пространстве. Однако в точке Р, близкой к Р, существует вектор, параллельный с точностью до членов второго порядка по расстоянию между точками Р и Р. Тогда можно придать смысл операции переноса вектора из точки Р в точку Р, оставляющей вектор параллельным самому себе и не изменяющей его длины.

При помощи операции параллельного переноса можно непрерывно перемещать вектор вдоль некоторой траектории. Выбрав траекторию от Р до Q, получим вектор в точке Q, параллельный, в смысле данной траектории, исходному вектору в точке Р. Другая траектория даст иной результат. Понятие вектора в точке Q, параллельного исходному вектору в точке Р, не является абсолютным. Если произвести параллельный перенос вектора из точки Р вдоль замкнутой траектории, то

получим снова вектор в точке Р, который, вообще говоря, отличается от исходного направлением.

Уравнения для параллельного переноса вектора можно получить, предположив, что наше четырехмерное физическое пространство находится в плоском пространстве большего числа, скажем N, измерений. Введем в этом -мерном пространстве прямолинейные координаты . Эти координаты могут быть неортогональными. Для двух близлежащих точек существует инвариантное расстояние:

(6.1)

где суммирование по ведется от 1 до . В отличие от g величины являются константами. С их помощью можно опускать индексы в -мерном пространстве:

Физическое пространство образует четырехмерную «поверхность» в плоском -мерном пространстве. Каждая точка этой поверхности определяет некоторую точку в -мерном пространстве. Каждая координата является функцией четырех Уравнения поверхности задаются путем исключения из N функций Таких уравнений N - 4.

Дифференцируя по параметрам получаем

Для двух близких точек поверхности, различающихся на имеем

Согласно (6.1) квадрат инвариантного расстояния между этими точками имеет вид

Поскольку — константы, то можно записать в виде

Кроме того,

Отсюда получаем, что

Рассмотрим в физическом пространстве контравариантный вектор локализованный в точке Компоненты преобразуются так же, как из (6.2), и из них, следовательно, можно образовать соответствующий контравариантный вектор в -мерном пространстве, преобразующийся так же, как из (6.2). Тогда

Вектор разумеется, принадлежит поверхности.

Сместим теперь в соседнюю точку поверхности оставляя его параллельным самому себе (это означает, что компоненты остаются неизменными). Вследствие кривизны пространства вектор в точке уже не принадлежит поверхности. Однако его проекция на поверхность задает определенный вектор, принадлежащий поверхности.

Для нахождения проекции на поверхность нужно разложить вектор на тангенциальную и нормальную составляющие и затем нормальную составляющую отбросить:

Если обозначить компоненты в координатной системе принадлежащей поверхности, то в соответствии с (6.4) можно записать:

где коэффициенты взяты в новой точке

Составляющая по самому определению ортогональна любому тангенциальному вектору в точке и, следовательно, любому вектору типа правой части (6.6) независимо от вида . Тогда

Если теперь умножить (6.5) на то член с исчезает, и с учетом (6.3) получим

Таким образом, с точностью до величин первого порядка по dx находим:

Так как есть результат параллельного переноса в точку можно положить

так что обозначает изменение при параллельном переносе. Тогда имеем