Главная > Лекции по теоретической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

6. Параллельный перенос

Пусть вектор локализован в точке Р. Если пространство кривлено, понятие параллельного вектора в другой точке Q лишено смысла, в чем легко убедиться на примере искривленного двухмерного пространства в трехмерном евклидовом пространстве. Однако в точке Р, близкой к Р, существует вектор, параллельный с точностью до членов второго порядка по расстоянию между точками Р и Р. Тогда можно придать смысл операции переноса вектора из точки Р в точку Р, оставляющей вектор параллельным самому себе и не изменяющей его длины.

При помощи операции параллельного переноса можно непрерывно перемещать вектор вдоль некоторой траектории. Выбрав траекторию от Р до Q, получим вектор в точке Q, параллельный, в смысле данной траектории, исходному вектору в точке Р. Другая траектория даст иной результат. Понятие вектора в точке Q, параллельного исходному вектору в точке Р, не является абсолютным. Если произвести параллельный перенос вектора из точки Р вдоль замкнутой траектории, то

получим снова вектор в точке Р, который, вообще говоря, отличается от исходного направлением.

Уравнения для параллельного переноса вектора можно получить, предположив, что наше четырехмерное физическое пространство находится в плоском пространстве большего числа, скажем N, измерений. Введем в этом -мерном пространстве прямолинейные координаты . Эти координаты могут быть неортогональными. Для двух близлежащих точек существует инвариантное расстояние:

(6.1)

где суммирование по ведется от 1 до . В отличие от g величины являются константами. С их помощью можно опускать индексы в -мерном пространстве:

Физическое пространство образует четырехмерную «поверхность» в плоском -мерном пространстве. Каждая точка этой поверхности определяет некоторую точку в -мерном пространстве. Каждая координата является функцией четырех Уравнения поверхности задаются путем исключения из N функций Таких уравнений N - 4.

Дифференцируя по параметрам получаем

Для двух близких точек поверхности, различающихся на имеем

Согласно (6.1) квадрат инвариантного расстояния между этими точками имеет вид

Поскольку — константы, то можно записать в виде

Кроме того,

Отсюда получаем, что

Рассмотрим в физическом пространстве контравариантный вектор локализованный в точке Компоненты преобразуются так же, как из (6.2), и из них, следовательно, можно образовать соответствующий контравариантный вектор в -мерном пространстве, преобразующийся так же, как из (6.2). Тогда

Вектор разумеется, принадлежит поверхности.

Сместим теперь в соседнюю точку поверхности оставляя его параллельным самому себе (это означает, что компоненты остаются неизменными). Вследствие кривизны пространства вектор в точке уже не принадлежит поверхности. Однако его проекция на поверхность задает определенный вектор, принадлежащий поверхности.

Для нахождения проекции на поверхность нужно разложить вектор на тангенциальную и нормальную составляющие и затем нормальную составляющую отбросить:

Если обозначить компоненты в координатной системе принадлежащей поверхности, то в соответствии с (6.4) можно записать:

где коэффициенты взяты в новой точке

Составляющая по самому определению ортогональна любому тангенциальному вектору в точке и, следовательно, любому вектору типа правой части (6.6) независимо от вида . Тогда

Если теперь умножить (6.5) на то член с исчезает, и с учетом (6.3) получим

Таким образом, с точностью до величин первого порядка по dx находим:

Так как есть результат параллельного переноса в точку можно положить

так что обозначает изменение при параллельном переносе. Тогда имеем

1
Оглавление
email@scask.ru