2. Невырожденная скобка. Симплектическая структура.
Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная 
-форма. Действительно, для любой гладкой функции F операция 
является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на М. Все касательные векторы можно представить в таком виде. Определим 
-форму 
по формуле
Из аксиом 
следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта 
-форма называется симплектической структурой, а многообразие М — симплектическим многообразием. В общем случае форма 
имеет вид 
, где 
в каноническом случае 
. К такому виду по теореме Дарбу [3] приводится локально всякая симплектическая структура.
Обратно, невырожденная форма 
позволяет установить изоморфизм касательного ТХМ и кокасательного пространств: вектору 
ставится в соответствие 
-форма 
где 
. Пусть 
— обратное отображение. Легко проверить, что скобка Пуассона двух функций F, G, заданная формулой 
удовлетворяет условиям 
и условию невырожденности.
