29. Действие для заряженной материи

В предыдущем разделе было рассмотрено электромагнитное поле в отсутствие зарядов. Чтобы описать заряды, необходимо ввести соответствующий член в действие. Для уединенной частицы с зарядом е дополнительный член в действии имеет вид

где интегрирование ведется вдоль мировой линии.

Если частица, несущая заряд, является точечной, то возникают трудности, связанные с тем, что ее электрическое поле содержит сингулярность. Эти трудности можно обойти, если рассматривать вместо точечного носителя заряда непрерывно распределенную материю. Будем описывать эту материю в рамках формализма, развитого в разд. 27, предполагая, что каждый элемент материи несет заряд.

В кинематических задачах фигурировала контравариантная векторная плотность ропределяющая плотность и поток материи. Здесь необходимо ввести контравариантную векторную плотность определяющую плотность и поток электричества. Эти два вектора должны совпадать по направлению. При малых смещениях приращение векторной плотности в соответствии с (27.4) можно записать следующим образом:

с теми же значениями что и в (17.4).

Для частицы, несущей заряд, действие (29.1) в случае непрерывного распределения заряженной материи приводит [аналогично (27.6)] к

При введении метрики полагаем, в соответствии с (27.7), что

где — скалярная функция, определяющая плотность заряда. Тогда действие принимает вид, аналогичный (27.8):

Таким образом,

Уравнения взаимодействия заряженной материи с гравитационным и электромагнитным полями следуют из общего вариационного принципа

Итак, возьмем сумму выражений (29.5), (28.5) и (27.10) с заменой последнего члена в (27.10) на (27.11) и приравняем нулю суммарные коэффициенты при вариациях и

Если коэффициент при умножить на то получим

Уравнение (29.7) представляет собой уравнение Эйнштейна (24.6) с , состоящим из двух членов: тензора энергии-импульса материи и тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Коэффициент при дает

Из (29.3) видно, что совпадает с вектором тока таким образом,

Уравнение (29.8) представляет собой уравнение Максвелла (23.13) в присутствии зарядов.

Наконец, для коэффициента при находим

или

Второй член в (29.9) представляет собой силу Лоренца, приводящую к отклонению траектории элемента материи от геодезической.

Уравнение (29.9) является следствием уравнений (29.7) и (29.8). Действительно, возьмем ковариантную дивергенцию от уравнения (29.7). С учетом тождеств Бианки получим

(29.10)

Далее, согласно (28.3), и с использованием (23.12) и (29.8) имеем

Таким образом, (29.10) принимает вид

(29.11)

Умножая (29.11) на и используя (25.2), получаем

(здесь учтено условие , заключающееся в том, что должны совпадать по направлению). Тогда первый член в (29.11) обращается в нуль, и мы приходим к (29.9). Таким образом, уравнения, следующие из вариационного принципа (29.6), не являются независимыми, что далеко не случайно. Причины этого обсуждаются в разд. 30.