Главная > Лекции по теоретической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

29. Действие для заряженной материи

В предыдущем разделе было рассмотрено электромагнитное поле в отсутствие зарядов. Чтобы описать заряды, необходимо ввести соответствующий член в действие. Для уединенной частицы с зарядом е дополнительный член в действии имеет вид

где интегрирование ведется вдоль мировой линии.

Если частица, несущая заряд, является точечной, то возникают трудности, связанные с тем, что ее электрическое поле содержит сингулярность. Эти трудности можно обойти, если рассматривать вместо точечного носителя заряда непрерывно распределенную материю. Будем описывать эту материю в рамках формализма, развитого в разд. 27, предполагая, что каждый элемент материи несет заряд.

В кинематических задачах фигурировала контравариантная векторная плотность ропределяющая плотность и поток материи. Здесь необходимо ввести контравариантную векторную плотность определяющую плотность и поток электричества. Эти два вектора должны совпадать по направлению. При малых смещениях приращение векторной плотности в соответствии с (27.4) можно записать следующим образом:

с теми же значениями что и в (17.4).

Для частицы, несущей заряд, действие (29.1) в случае непрерывного распределения заряженной материи приводит [аналогично (27.6)] к

При введении метрики полагаем, в соответствии с (27.7), что

где — скалярная функция, определяющая плотность заряда. Тогда действие принимает вид, аналогичный (27.8):

Таким образом,

Уравнения взаимодействия заряженной материи с гравитационным и электромагнитным полями следуют из общего вариационного принципа

Итак, возьмем сумму выражений (29.5), (28.5) и (27.10) с заменой последнего члена в (27.10) на (27.11) и приравняем нулю суммарные коэффициенты при вариациях и

Если коэффициент при умножить на то получим

Уравнение (29.7) представляет собой уравнение Эйнштейна (24.6) с , состоящим из двух членов: тензора энергии-импульса материи и тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Коэффициент при дает

Из (29.3) видно, что совпадает с вектором тока таким образом,

Уравнение (29.8) представляет собой уравнение Максвелла (23.13) в присутствии зарядов.

Наконец, для коэффициента при находим

или

Второй член в (29.9) представляет собой силу Лоренца, приводящую к отклонению траектории элемента материи от геодезической.

Уравнение (29.9) является следствием уравнений (29.7) и (29.8). Действительно, возьмем ковариантную дивергенцию от уравнения (29.7). С учетом тождеств Бианки получим

(29.10)

Далее, согласно (28.3), и с использованием (23.12) и (29.8) имеем

Таким образом, (29.10) принимает вид

(29.11)

Умножая (29.11) на и используя (25.2), получаем

(здесь учтено условие , заключающееся в том, что должны совпадать по направлению). Тогда первый член в (29.11) обращается в нуль, и мы приходим к (29.9). Таким образом, уравнения, следующие из вариационного принципа (29.6), не являются независимыми, что далеко не случайно. Причины этого обсуждаются в разд. 30.

1
Оглавление
email@scask.ru