15. Эйнштейновский закон гравитации

До сих пор содержание книги носило чисто математический характер, за исключением физического предположения о том, что траектория частицы есть геодезическая. Многие результаты, изложенные в предыдущих разделах, были получены в прошлом веке и относятся к искривленному пространству произвольного числа измерений. В предшествующем формализме размерность пространства фигурирует лишь постольку, поскольку

Эйнштейн предположил, что в пустом пространстве

В этом и состоит эйнштейновский закон гравитации. «Пустое» здесь означает отсутствие материи и каких-либо физических полей, за исключением самого гравитационного поля. Гравитационное поле не нарушает пустоты. Все остальные поля нарушают. Условия пустоты пространства с хорошей точностью справедливы для межпланетного пространства в Солнечной системе, и здесь применимо уравнение (15.1).

Плоское пространство, очевидно, удовлетворяет соотношению (15.1). Геодезические в плоском пространстве являются прямыми линиями; таким образом, частицы движутся по прямым линиям. В случае искривленного пустого пространства эйнштейновский закон накладывает ограничения на кривизну. Вместе с предположением о том, что планеты движутся по геодезическим это дает некоторую информацию об их движении.

На первый взгляд, эйнштейновский закон гравитации не имеет ничего общего с ньютоновским. Чтобы увидеть аналогию, нужно рассматривать как потенциалы, описывающие гравитационное поле. В отличие от одного ньютоновского потенциала в эйнштейновской теории их десять. Эти потенциалы описывают не только гравитационное поле, но и координатную систему. Гравитационное поле и система координат в эйнштейновской теории неразрывно связаны, и их не удается описать независимо друг от друга.

При рассмотрении компонент g как потенциалов (15.1) оказывается полевым уравнением и выглядит как обычное полевое уравнение в том смысле, что оно является уравнением второго порядка, так как вторые производные входят в (14.4) через символы Кристоффеля. Уравнение (15.1) отличается от обычных полевых уравнений тем, что оно нелинейно, существенно нелинейно. Эйнштейновские уравнения весьма сложны, и находить их точные решения трудно.