2. Сильные и слабые уравнения

Рассмотрим динамическую систему с N степенями свободы, описываемую обобщенными координатами и скоростями или Возьмем лагранжиан L, который пока может быть произвольной функцией координат и скоростей

Определим импульсы соотношением

Для развития теории введем вариационную процедуру, варьируя каждую из величин независимо на малую величину порядка е и работая с точностью до . В результате такой вариации уравнение (2.2) нарушится, так как его левая часть будет отлична от правой на величину порядка е. Теперь нам придется различать два сорта уравнений: уравнения типа (2.2), которые оказываются нарушенными на величину порядка е после применения вариации, и уравнения, остающиеся справедливыми с точностью до е под действием вариации. Уравнение (2.1) будет этого второго сорта, поскольку вариация L будет по определению равна вариации функции . Уравнения первого сорта мы будем называть слабыми уравнениями и писать их с обычным знаком равенства а уравнения второго будем называть сильными уравнениями и писать их со знаком

Мы имеем следующие правила, регулирующие алгебраические действия со слабыми и сильными уравнениями:

если

Из слабого уравнения мы можем заключить, что

так что получится сильное уравнение

Аналогично из двух слабых уравнений мы можем вывести сильное уравнение

Может оказаться, что все N величин в правой части (2.2) являются независимыми функциями N скоростей . В этом случае уравнения (2.2) определяют каждую q как функцию аргументов q и р. Об этом случае будем говорить как о стандартном, и именно его обычно рассматривают в динамической теории.

Если не являются независимыми функциями скоростей, можно исключить q из уравнений (2.2) и получить одно или более уравнений

содержащих только переменные q и р. Мы можем считать уравнение (2.3) записанным так, что вариация меняет на величину порядка е, так как если она меняет на величину порядка , то следует лишь заменить в на и желаемое условие окажется выполненным. Теперь вариация нарушает уравнение (2.3) на величину порядка е, так что оно правильно пишется как слабое уравнение. Нам потребуется использовать полный набор независимых уравнений типа (2.3), например:

Условие независимости означает, что ни одну из нельзя представить в виде линейной комбинации остальных с коэффициентами, зависящими от q и р. Условие полноты означает, что любая функция аргументов q и р, обращающаяся в нуль вследствие уравнений (2.2) и меняющаяся при вариации на величину порядка е, может быть представлена как линейная комбинация функций с коэффициентами, зависящими от q и р.

Мы можем следующим образом описать соотношение между сильными и слабыми уравнениями. Возьмем -мерное пространство с координатами q, q и р. В этом пространстве найдется -мерная область, в которой уравнения (2.2) удовлетворяются. Назовем ее областью R. Уравнения (2.4) также удовлетворяются в этой области, поскольку они следуют из (2.2). Рассмотрим теперь все точки -мерного пространства, которые удалены от R не далее чем на расстояния порядка е. Они

образуют -мерную область подобную оболочке с толщиной порядка е. Назовем ее областью Слабое уравнение выполняется в области R, сильное уравнение выполняется в области