7. Символы Кристоффеля

Дифференцируя (6.3), получаем (вторая запятая при двукратном дифференцировании опущена)

поскольку немой индекс n вследствие постоянства можно поднять и опустить. Меняя местами и а в (7.1), получаем

Переставляя v и а в (7.1), имеем

Теперь сложим (7.1) и (7.3), вычтем из полученного уравнения (7.2) и разделим пополам. В результате получим:

Положим

Эту величину называют символом Кристоффеля первого типа. Она симметрична по двум последним индексам. Символ Кристоффеля первого типа не является тензором. Из (7.5) непосредственно следует:

Теперь ясно, что (6.7) можно записать в виде

Это уже не относится к -мерному пространству, так как символ Кристоффеля выражается только через метрический тензор физического пространства.

Можно показать, что длина вектора не изменяется при параллельном переносе. Действительно:

Далее, . Умножая на , получаем

Это полезное соотношение выражает производную производную Отсюда

Следовательно, выражение (7.8) обращается в нуль. Таким образом, длина вектора не изменяется. В частности, нулевой вектор (т.е. вектор нулевой длины) при параллельном переносе остается нулевым.

Постоянство длины вектора при параллельном переносе следует также из геометрических соображений. При разложении вектора на тангенциальную и нормальную составляющие, согласно (6.5), нормальная составляющая инфинитезимальна и ортогональна тангенциальной составляющей. Значит, в первом приближении длина вектора равна длине его тангенциальной составляющей.

Постоянство длины произвольного вектора влечет за собой постоянство скалярного произведения двух произвольных векторов А и В. Это можно показать, используя постоянство длины вектора при произвольном значении параметра А.

Часто бывает полезно поднять первый индекс символа Кристоффеля так, чтобы образовать величину

которую называют символом Кристоффеля второго типа. Она симметрична по двум нижним индексам. Как пояснялось в разд. 4, операция поднятия индекса определена и для нетензорных величин.

Формулу (7.7) можно переписать в виде

Это стандартная запись в ковариантных компонентах. Введя второй вектор получим

Последнее соотношение справедливо для произвольного . Тогда

Это — стандартная запись для параллельного переноса в контравариантных компонентах.