6. Скобка Ли—Пуассона.

Другой важный пример пуассоновой структуры связан с алгебрами Ли. Пусть — структурные константы алгебры в базисе . Скобка Ли-Пуассона ([39], т. 3, гл. 25, § 115, формула (75)) пары функций F, Н, заданных на некотором (другом) линейном пространстве V с координатами и базисом определяется формулой

где — линейный по структурный тензор. Все необходимые тождества для структурного тензора можно получить из свойств структурных констант алгебры Ли:

Более инвариантное описание структуры Ли-Пуассона делается следующим образом. Для любого векторного пространства V и гладкой функции , дифференциал в любой точке является элементом двойственного векторного пространства V, состоящего из линейных функционалов на V. По определению

для любого , а операция есть естественное спаривание пространства V и двойственного к нему пространства V. Учитывая это, можно отождествить линейное пространство V, участвующее в исходной конструкции скобок Ли-Пуассона с двойственным пространством g к алгебре Ли , причем — двойственный базис к Дифференциал любой функции (определенной на дуальном пространстве) является элементом пространства Скобка Ли-Пуассона в инвариантной форме имеет вид

где — скобка Ли на самой алгебре .

Симплектическое слоение для скобки Ли-Пуассона на двойственном пространстве к алгебре Ли имеет особенно замечательную интерпретацию в терминах представления, двойственного к присоединенному представлению группы Ли на алгебре Ли (см. [2, 26]).

Пусть — группа Ли с алгеброй Ли . По определению коприсоединенным действием элемента группы называется линейное отображение двойственного пространства, удовлетворяющее условию

для всех из — присоединенное действие элемента l на .

Если отождествить касательное пространство и; с самим пространством (аналогично сделать и для ) то можно получить инфинитезимальные образующие коприсоединенного действия дифференцированием равенства (6.3)

где из . Для присоединенного представления

Коприсоединенное действие и скобка Ли-Пуассона связаны следующим замечательным утверждением, доказательство которого можно найти в [2, 26, 29].

Теорема 1. Пусть — связная группа Ли с коприсоединенным представлением на . Тогда орбиты представления в точности совпадают со слоями симплектического слоения, индуцированного скобкой Ли-Пуассона на .

В частности, орбиты коприсоединенного представления группы являются четномерными подмногообразиями в д. Кроме того, для каждого элемента коприсоединенное отображение является пуассоновым (сохраняет скобку Пуассона) и оставляет на месте слои этого слоения. В случае, если размерность орбиты коприсоединенного представления не является максимальной, она называется сингулярной. Можно показать, что такие орбиты являются пуассоновыми многообразиями — сингулярными симплектическими листами.

Замечание 1. При редукции на орбиту коприсоединенного представления возникает невырожденная скобка, порождающая соответствующую замкнутую невырожденную -форму. Эта форма была (независимо от С. Ли) открыта Березиным и использовалась Кирилловым, Костантом и Сурьо в связи с теорией представлений и геометрическим квантованием. Термин «скобка Ли - Пуассона» введен А. Вейнстейном (который ввел также термин «функция Казимира», вообще говоря, исторически мало оправданный. Казимир (Н. В. G. Casimir), выполнявший диссертацию под руководством П. Эренфеста (P. Ehrenfest), использовал это понятие при квантовании уравнений Эйлера свободного волчка [35]. С. Ли называл эти функции отмеченными (ausgezeichnete Funktionen) [39].

Уравнения Гамильтона для структуры Ли-Пуассона

в покомпонентной записи имеют вид

Уравнения (6.5) можно записать в более инвариантном виде

где — оператор коприсоединенного представления алгебры Ли .