27. Действие для непрерывно распределенной материи

Рассмотрим непрерывное распределение материи, скорость которой непрерывно меняется от точки к точке, подобно тому, как это было сделано в разд. 25. Запишем вариационный принцип в присутствии материи, взаимодействующей с гравитационным полем, в виде

где гравитационная часть действия совпадает с точностью до некоторого численного множителя к с I из предыдущего раздела, а — материальная часть действия, которая сейчас и будет определена. Условие (27.1) должно приводить к уравнениям Эйнштейна (25.7) для гравитационного поля в присутствии материи и к уравнениям геодезической для движения материи.

В дальнейшем необходимо будет знать, как влияет на произвольная вариация положения элемента материи. Рассуждение станет более понятным, если предварительно рассмотреть чисто кинематические вариации безотносительно к метрике . В этом случае существует принципиальное различие между ковариантными и контравариантными векторами, и нельзя перейти от одного к другому. Скорость описывается отношением компонент контравариантного вектора и не может быть нормирована без введения метрики.

Для непрерывного потока материи вектор скорости (с некоторым неизвестным множителем) задан в каждой точке. Можно построить совпадающую по направлению с контравариантную векторную плотность , которая определяет величину и скорость потока в виде

равного количеству материи в элементе объема в определенный момент времени и

равного количеству материи, прошедшей через элемент поверхности за время . Предположим, что материя сохраняется, тогда

Пусть каждый элемент материи смещен из точки в точку , где — мало. Требуется определить результирующее изменение в заданной точке

Сначала рассмотрим случай . Изменение количества материи, находящейся в трехмерном объеме V, равно с обратным знаком количеству материи, прошедшей через границу объема

где обозначает элемент поверхности, ограничивающей объем V. Правую часть этого равенства можно преобразовать по теореме Гаусса; тогда получим

Теперь этот результат нужно обобщить на случай Если пропорционально то каждый элемент материи смещается вдоль своей мировой линии и, следовательно, вектор не изменяется. Обобщение (27.3) имеет, очевидно, следующий вид:

так как при последнее уравнение совпадает с (27.3), а при пропорциональном рдает Соответствующая формула справедлива и для других компонент ртак что окончательно общий результат имеет вид

При описании непрерывного потока материи является основной характеристикой, которая должна войти в функцию действия. Величина должна варьироваться, согласно формуле (27.4), и затем после соответствующего интегрирования по частям коэффициенты при каждой из компонент должны быть приравнены нулю. Это приведет к уравнениям движения материи.

Действие для изолированной частицы массы имеет вид

Необходимость введения коэффициента — станет понятной, если рассмотреть случай специальной теории относительности, для которой лагранжиан имел бы вид производной по времени от (27.5), а именно:

(суммирование проведено по ). Отсюда получаем выражение для импульса:

Действие для непрерывно распределенной материи получим заменой в (27.5) величиной и интегрированием:

Чтобы записать в более понятной форме, введем метрический тензор и положим

где р — скаляр, определяющий плотность, а — вектор единичной длины, совпадающий по направлению с . Получим

где учтено, что

Такая форма записи действия не удобна для варьирования, так как р и не являются независимыми переменными. Чтобы можно было воспользоваться формулой (27.4), р и должны быть выражены через Из (27.7) находим

Тогда (27.8) принимает вид

(27.9)

Для определения вариации этого выражения воспользуемся соотношением:

Теперь из вариационного принципа (27.1) после подстановки в него (26.11), умноженного на коэффициент k, имеем

Приравнивая нулю коэффициент при и выбирая получаем уравнения Эйнштейна (25.7). Последний член (27.10), с учетом (27.4) и (25.2), дает

(27.11)

Приравняв нулю коэффициент при получим уравнение геодезической (25.5).