3. Условие принадлежности первому роду

По определению зависящая от q и р функция есть величина первого рода, если все ее СП с и обращаются в нуль. Достаточно, чтобы это обращение было слабым, т.е. с использованием уравнений (1.2) и (2.2). Зависящая от q и р функция, не удовлетворяющая этим условиям, называется величиной второго рода.

Теорема. СП двух величин первого рода есть величина первого рода.

Доказательство.

Пусть X и Y — первого рода, так что

Эти слабые уравнения означают, что

с некоторыми коэффициентами и . Следовательно,

Аргументация сохраняет силу, если заменить на Н, откуда . Следовательно, [X, Y] — первого рода.

Положим,

(3.1)

Уравнения (2.5) показывают, что СП с любой слабо обращается в нуль. Далее,

из первого из уравнений (2.5), умноженного на Таким образом, — первого рода. Заметим, что гамильтониан может быть получен из преобразованием (1.7).

Любая линейная комбинация с коэффициентами, зависящими от q и р, может рассматриваться как другая . Положим,

Уравнения (2.6) показывают, что СП с любой слабо обращается в нуль. Мы только что видели, что СП с обращается в нуль, так

что СП ее с Н также должна обращаться в нуль. Следовательно, — первого рода.

Благодаря (2.7) общее уравнение движения (1.12) принимает вид

Теперь оно содержит гамильтониан первого рода Н и первого рода Коэффициенты отвечающие этим первого рода, никак не ограничиваются уравнениями движения. Таким образом, в общем решении уравнений движения с данными начальными условиями каждый из них приводит к произвольной функции времени.

Каждая первого рода имеет вид где удовлетворяют (2.5). Поэтому каждая независимая первого рода должна появиться в (3.3). Следовательно, число независимых функций времени в общем решении уравнений движения равно числу независимых первого рода. Следует считать, что все решения уравнений движения, различие которых при данных начальных условиях вызвано разным выбором произвольных функций времени, отвечают одному и тому же физическому состоянию движения, по-разному описываемому в зависимости от выбора некоторых не имеющих физического значения математических переменных (например, от выбора калибровки в электродинамике или координатной системы в релятивистской теории).

На практике инвариантные свойства интеграла действия обычно позволяют узнать, какие произвольные функции времени имеются в общем решении уравнений движения. Это знание помогает выделить первого рода из набора всех не прибегая к трудоемкому вычислению всех СП. Любая переменная скорости, отбрасывание которой не сказывается на физическом состоянии, должна появиться как коэффициент связанный с первого рода, в гамильтоновом уравнении движения (3.3).