3. Гамильтониан

Гамильтониан Н определяется соотношением

(3.1)

где подразумевается суммирование по всем значениям повторяющегося в одном члене индекса. Имеем

Мы обнаружили, что не зависит от Этот важный результат справедлив вне зависимости от того, стандартный у нас случай или нет.

Уравнение (3.1) дает определение Н как функции , справедливое во всем -мерном пространстве . Мы будем пользоваться этим определением только в области а в ней справедлив, с точностью до первого порядка, результат (3.2). Это означает, что если мы оставим постоянными q и р и возьмем вариацию первого порядка у q, вариация Н будет второго порядка. Таким образом, если мы сохраним постоянными q и р и возьмем конечную вариацию q, оставаясь все время в области (что возможно, когда случай не стандартный), вариация Н будет первого порядка. Если же мы остаемся в области R, вариация Н будет равна нулю. Следовательно, в области R гамильтониан Н является функцией только . Обозначив эту функцию , мы имеем слабое уравнение

справедливое в области R. В стандартном случае функция — это обычный гамильтониан.

Отправляясь от точки совершая общую вариацию, из (3.2) мы имеем

Таким образом, зависит только от . Если вариация такова, что мы остаемся в области R, то, конечно, Таким образом, обращается в нуль для любой такой вариации q и р, что можно выбрать сохраняющими уравнения (2.2). Это налагает на единственное ограничение — чтобы они сохраняли уравнения (2.4), т. е. приводили к для всех . Таким образом, равна нулю для любых величин которые дают , а, следовательно, для произвольных

с подходящими коэффициентами Эти коэффициенты будут функциями , а с помощью (2.2) их можно представить функциями только q и . Теперь из (3.4) и (2.4) мы получаем

и, следовательно,

Мы имеем здесь сильное уравнение, справедливое с точностью до первого порядка в области в противоположность слабому уравнению (3.3), справедливому только в R. Уравнение (3.4) дает

Сравнивая это с (3.2), мы получаем

Уравнения (3.6) выражают q через , (3.6) и (3.7) показывают, что переменных можно выразить через переменных Между этими переменными имеется М соотношений (2.4). Любых других соотношений между этими переменными

быть не может, иначе переменных не были бы независимыми. Таким образом, каждая из v не должна зависеть от q, р и остальных v. Сами v можно считать переменными типа скорости, служащими для фиксации тех q, которые нельзя выразить через q и р.

Работая с гамильтоновой формой динамики, мы используем в качестве основных переменные q, р и v, которые предполагаются связанными некоторыми соотношениями (2.4), а в остальном — независимыми. Мы будем называть их гамилътоновыми переменными.