3. Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу.
Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои (листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои представляют собой общий уровень всех центральных функций, и для них справедлива теорема Дарбу. Таким образом, на симплектическом слое мы вновь возвращаемся к ситуации стандартной канонической (симплектической) гамильтоновой механики. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, так как ведет к потере, например, алгебраичности дифференциальных уравнений и ограниченности применения геометрических методов исследования.
Рангом пуассоновой структуры в точке 
называется ранг структурного тензора в этой точке (очевидно, что он четен). Как правило, под рангом пуассоновой структуры понимают максимальный ранг, который она имеет в некоторой точке 
. Для симплектических многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален.
Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных (возможно вырожденных) пуассоновых многообразий. Доказательство этой теоремы восходит к Ли [39] и Дарбу, с более формальными рассуждениями можно ознакомиться в работе [46] (см. также [26]).
Теорема. Пусть 
— пуассоново многообразие размерности пив точке 
ранг скобки 
локально постоянен и равен 
. Тогда существует локальная система (канонических) координат 
в которой скобки Пуассона имеют вид
где 
В указанных координатах симплектический лист задается уравнениями 
, а симплектическая структура на нем задается формой 
Если в любой окрестности точки 
ранг не является локально постоянным, то теорема Дарбу уже не является справедливой. Одно из обобщений теоремы Дарбу для произвольной
точки получено А. Вейнстейном [46]. Нормальные формы пуассоновых структур вблизи такой особой точки 
обсуждаются в [2, 46].
