31. Псевдотензор энергии—импульса гравитационного поля

Введем величину , определяемую соотношением

Тогда имеем

Далее,

Согласно (30.2),

Теперь с помощью полевых уравнений (24.6) получаем

таким образом, из (21.4) и условия имеем

Мы пришли к закону сохранения, поэтому сохраняющуюся плотность естественно рассматривать в качестве плотности энергии и импульса. Как было показано, представляет собой энергию и импульс негравитационных полей; следовательно, t описывает энергию и импульс гравитационного поля. Однако не является тензором. Уравнение (31.1), определяющее можно записать в виде

Здесь L не скаляр, так как при его получении пришлось для исключения вторых производных трансформировать скаляр R, который был первоначально выбран в качестве действия. Значит, не может быть тензором. Эта величина получила название псевдотензор.

При нахождении выражения для энергии гравитационного поля невозможно удовлетворить одновременно следующим условиям: 1) после добавления к другим формам энергии величины t полная энергия сохраняется; 2) энергия, заключенная в определенном (трехмерном) объеме в фиксированный момент времени, не зависит от выбора системы координат. Таким образом, гравитационную энергию, вообще говоря, нельзя локализовать. В лучшем случае можно пользоваться псевдотензором, удовлетворяющим только условию 1). Это дает приближенную информацию о гравитационной энергии (впрочем, в некоторых специальных случаях эта информация может быть точной).

Запишем интеграл

по трехмерному объему, включающему некоторую физическую систему в определенный момент времени. Можно ожидать, что при стремлении объема к бесконечности мы получим полные энергию и импульс, причем: а) интеграл сходится, б) поток через поверхность, ограничивающую объем, стремится к нулю. Тогда из уравнения (31.2) видно, что значения интеграла (31.4) в момент времени и некоторый другой момент равны. Более того, этот интеграл не должен зависеть от выбора системы координат, так как можно, не изменяя координат в момент времени преобразовывать их при . Таким образом, найдено однозначное сохраняющееся выражение для полных энергии и импульса.

Условия а) и б), необходимые для сохранения полных энергии и импульса, в практически интересных случаях выполняются редко. Эти условия имели бы место, если бы пространство было статическим вне конечной четырехмерной трубки; такая ситуация реализуется, когда некоторые материальные тела начинают двигаться в определенный момент времени, и это движение создает возмущения, распространяющиеся вовне со скоростью света. В случае обычной планетарной системы движение происходит от бесконечного прошлого и условия а), б) не выполняются. Особого обсуждения требует вопрос об энергии гравитационных волн; этой проблеме посвящен разд. 33.