12. Критерии плоского пространства
Если пространство является плоским, можно выбрать прямолинейную систему координат; тогда 
будет константой и, следовательно, 
обратится в нуль.
И, наоборот, если 
обращается в нуль, можно показать, что пространство является плоским. Вектор 
, расположенный в точке х, сместим посредством параллельного переноса в точку 
Затем сместим его посредством параллельного переноса в точку 
. Если 
обращается в нуль, то при смещении 
из 
сначала в точку 
а затем в точку 
результат должен быть прежним. Таким образом, при смещении вектора из одной точки в другую результат не зависит от траектории перехода. Тогда, перемещая параллельным переносом исходный вектор 
из точки 
во всевозможные точки, получаем векторное поле, удовлетворяющее условию 
т. е.
Можно ли представить такое векторное поле в виде градиента от скаляра? Положим в 
Получим
Вследствие симметрии 
, по нижним индексам выражения для 
совпадают, и уравнение (12.2) является интегрируемым.
Выберем четыре независимых скаляра, удовлетворяющих (12.2), в качестве координат 
новой координатной системы. Тогда
Согласно трансформационному закону (3.7)
Дифференцируя это соотношение по 
находим с учетом (7.6)
Следовательно,
Значит, 
. В новой системе координат метрический тензор является константой. Таким образом, мы имеем дело с плоским пространством в прямолинейной системе координат.
