23. Электромагнитное поле

Уравнения Максвелла в стандартной записи имеют вид:

Сначала запишем их в четырехмерной форме в рамках специальной теории относительности. Потенциалы образуют -вектор к согласно соотношениям

Введем

Тогда в соответствии с (23.1)

и согласно (23.2)

Таким образом, шесть компонент антисимметричного тензора определяют полевые величины Е и Н. Из (23.7) следует, что

(23.8)

Это уравнение содержит в себе уравнения Максвелла (23.3) и (23.4). Далее, из (23.6) имеем

Аналогично из (23.5) получаем

Плотность заряда p и ток образуют -вектор согласно соотношениям . Тогда (23.9) и (23.10) объединяются в одно уравнение

(23.11)

Итак, уравнения Максвелла переписаны в четырехмерной форме, требуемой специальной теорией относительности.

Чтобы перейти к общей теории относительности, нужно записать уравнения в ковариантной форме. С учетом равенства (21.5) тензор (23.7) можно непосредственно обобщить:

Это позволяет определить ковариантные полевые величины . Далее получаем

Выполняя циклическую перестановку индексов и складывая полученные таким образом уравнения, имеем [с учетом (23.8)]:

(23.12)

В результате это уравнение Максвелла автоматически приобретает ковариантный вид.

Остается разобраться с уравнением (23.11). В рамках общей теории относительности оно не справедливо и должно быть заменено ковариантным уравнением

(23.13)

Из равенства (21.3), которое справедливо для любого антисимметричного тензора второго ранга, получаем

Отсюда непосредственно следует равенство

Это уравнение, аналогичное уравнению (21.2), представляет собой закон сохранения электричества. Учет кривизны пространства не нарушает его, закон выполняется точно.