11. Квантование

Чтобы проквантовать динамическую систему, получившую классическое описание, нужно построить систему линейных операторов, соответствующих классическим динамическим переменным q и р и их функциям. Ни классическим переменным v, ни переменным типа скорости вообще, ни комбинациям, явно содержащим , — нет соответствий среди операторов. Все операторы действуют на векторы гильбертова пространства, представителями которых в любом представлении являются волновые функции, характеризующие состояния в квантовой теории. Вещественным классическим переменным соответствуют самосопряженные операторы.

Аналогия между линейными операторами и их классическими двойниками должна удовлетворять двум общим принципам. С обозначением одинаковыми символами обоих партнеров-двойников, эти принципы суть:

(i) СП-соотношения между классическими переменными соответствуют перестановочным соотношениям между операторами согласно формуле

(ii) слабые уравнения между классическими переменными соответствуют линейным условиям на векторы согласно формуле

Процедура перехода от классической к квантовой теории не вполне определена математически, поскольку всякий раз, когда классическое выражение содержит произведение двух множителей, СП которых не обращается в нуль, есть произвол в порядке, в котором должны появиться эти два множителя в соответствующем квантовом выражении. В простых реальных примерах этот вопрос решается без труда. В сложных примерах может оказаться невозможным так выбрать порядок в каждом месте, чтобы сделать непротиворечивыми все квантовые уравнения, а тогда и неизвестно, как проквантовать теорию. Все современные методы квантования являются по сути практическими приемами, основанием для применения которых служат соображения простоты.

Имеются некоторые общие соображения, которые следует иметь в виду при переходе к квантовой теории, чтобы сразу не столкнуться с тривиальной противоречивостью квантовых уравнений. В классической теории мы имеем некоторое число -уравнений (включая в него на равных правах -уравнения), которые в квантовой теории следует трактовать в соответствии с принципом (ii). Для классических мы можем провести линейное преобразование (6.6), и новые будут ничем не хуже старых. Проводя соответствующее преобразование в квантовой теории, мы должны озаботиться тем, чтобы все коэффициенты стояли слева от Общая в квантовой теории есть линейная комбинация исходных с коэффициентами слева.

Из двух квантовых уравнений, полученных по -уравнениям согласно принципу (ii),

мы можем заключить, что

а отсюда согласно принципу (i)

Это соответствует классическому слабому уравнению

Мы можем заключить, что если переход к квантовой теории возможен, то все должны быть первого рода.

Квантовую теорию можно построить и по классической теории с второго рода — предварительно превратив все у-уравнения в сильные уравнения с помощью преобразования, описанного в § 8. Квантовым эквивалентом сильных уравнений будут уравнения между операторами, по которым одни из них можно определить через другие.

Квантовые уравнения полученные из классических -уравнений применением принципа первого рода, представляют собой волновые уравнения Шредингера. Обычная классическая динамика с единственной первого рода приводит к единственному уравнению Шредингера. В общей теории каждой классической степени свободы, характеризующей произвол в движении, отвечает свое уравнение Шредингера. В этих уравнениях все операторы соответствуют динамическим переменным при одном и том же значении . Операторы, относящиеся к различным значениям , принадлежат разным алгебраическим системам, и, по-видимому, в квантовой теории нет ничего похожего на -зависимость классических переменных.

Однако описываемая уравнением (9.6) зависимость классических величин от параметров t имеет квантовый аналог, если только t выбраны так, что их взаимные СП равны нулю, и поэтому в квантовой теории им можно одновременно придать числовые значения. Предпочтительные t различных форм релятивистской динамики, обсуждавшихся в предыдущем параграфе, удовлетворяют этому условию. Непосредственно перенести в квантовую теорию уравнения (9.6) мы не можем, поскольку, как легко проверить, получившиеся уравнения не были бы инвариантны при общих линейных преобразованиях Сначала мы должны привести уравнения (9.6) к стандартному виду. Преобразованием (6.6) мы образуем новый набор скажем находящихся в таком взаимно однозначном соответствии с что

Для таких уравнения (9.6) сводятся к

Эти уравнения уже можно перенести в квантовую теорию, и тогда они станут гейзенберговыми квантовыми уравнениями движения в нашей обобщенной динамике.