8. Преобразования гамильтоновой формы

Возьмем набор зависящих от q и р функций , таких, что детерминант

не обращается в нуль в слабом смысле. Это значит, что S должно быть четным. Пусть обозначает алгебраическое дополнение деленное на , так что

и

Тогда для любых двух величин и мы можем определить новую формулой

Легко видеть, что новая СП обладает первыми двумя из свойств (4.4), а в справедливости третьего, тождества Пуассона, убеждает прямая выкладка (см. приложение, § 12). Новая СП дает для любой

Чтобы понять значение новых СП, возьмем случай, когда набор в состоит из координат q и сопряженных им импульсов р. Тогда мы видим, что новая СП получается вычеркиванием из суммы по в определении (4.3) всех членов, содержащих производные по этим q и р. Таким образом, новая СП относится к системе с степенями свободы. Взяв в качестве в не в точности некоторые q и р, а любые независимые функции этих мы получаем ту же самую новую СП. Для таких общих в новые СП по-прежнему будут относиться к системе с степенями свободы, но редукция числа степеней свободы более сложна и не сводится к простому вычеркиванию некоторых q и р.

Предположим, что в качестве в выступают все или должны быть второго рода, так как иначе Тогда мы имеем для всех s, и, следовательно,

где g — любая функция q и р. Таким образом, с помощью новой СП можно записывать гамильтоновы уравнения движения. Таким путем мы получаем новую форму уравнений движения, более простую, поскольку эффективное число степеней свободы понизилось.

Теперь каждая из в обращается в нуль в слабом смысле. Работая только с новыми СП, мы без риска вступить в противоречие можем полагать, что каждая из в обращается в нуль в сильном смысле, потому что согласно (8.4) обращается в нуль новая СП в с чем угодно. Тогда мы можем использовать сильные уравнения чтобы упростить гамильтониан.

Назовем величиной первого рода, если она имеет нулевую СП со всеми и величиной второго рода в противном случае. Мы можем проделать над линейное преобразование вида

где — любые функции q и р, такие, что детерминант не обращается в нуль в слабом смысле; тогда новые эквивалентны старым

для всех целей теории. Проделаем преобразование такого типа с тем, чтобы обратить в величины первого рода как можно больше и получившиеся тогда первого рода обозначим , а второго рода —

Мы можем взять в качестве все Тогда детерминант не обращается в нуль. Доказательство этого факта аналогично доказательству того, что ранг матрицы (6.8) равен В: предположив, что имеет ранг и построив детерминант вида

следует убедиться, что является величиной первого рода по отношению к и одновременно — линейной комбинацией так что это противоречит предположению, что величинами первого рода сделано максимальное число

Такой выбор дает максимальное в описанном методе упрощение гамильтоновых уравнений движения. Мы получаем новую схему, в которой все уравнения для сильные. Мы можем использовать эти уравнения для полного исключения из теории некоторых q и р.

Вид новой схемы неоднозначен, поскольку неоднозначны и . Просто заменив линейными комбинациями их самих, мы не изменим окончательного вида. Однако мы можем добавить к любые линейные комбинации — любые линейные комбинации Это не изменит или но, вообще говоря, изменит так что вид гамильтоновой схемы внешне изменится. Конечно, внешне отличающиеся схемы должны быть эквивалентны, поскольку все они дают одни и те же уравнения движения.

В качестве применения описанного метода рассмотрим случай, когда лагранжиан не содержит некоторых скоростей. Предположим, что L не содержит Тогда каждый в слабом смысле равен нулю, а в сильном — . Предположим, что ни одна линейная комбинация не является величиной первого рода. Тогда мы можем считать, что суть Возьмем теперь в качестве половины набора эти а в качестве другой половины — подходящие или второго рода, так чтобы не обращался в нуль. Эти другие назовем Легко видеть, что при таком выборе именно новые СП и получились бы

применением определения (4.3) к тем степеням свободы, для которых из числа q исключены причем каждый считается сильно равным нулю, а каждая — сильно равной функции остальных q и р, заданной уравнениями Таким путем мы получаем новую гамильтонову схему (не обязательно максимально упрощенную, поскольку могут существовать другие не включенные в число в), в которой не появляются как независимые динамические переменные.

Новую схему можно было бы получить и более прямым путем, с самого начала не считая координатами и вообще не вводя сопряженных им импульсов. Посмотрим, какие модификации внесло бы это в развитие теории.

Обозначим через n те и только те значения индексов, для которых q не есть т.е. значения Тогда уравнения (2.2) и (3.1) остаются в силе, а уравнение (3.2) следует заменить на

поскольку мы допускаем варьирование Уравнения

мы можем считать при этом дополнительными условиями. Тогда уравнение (8.8) сводится просто к (3.2). Мы можем заключить, что Н имеет вид (5.3), где зависят от не зависят от и обращаются в нуль как следствие уравнений (2.2). В дальнейшем теорию можно развивать, как и ранее, в терминах не зависящих от . Те же из уравнений для которые содержат можно считать определяющими через другие переменные, и в дальнейшем они не играют в теории никакой роли.

В такой форме теории мы имеем лагранжиан, содержащий зависящие от импульсов переменные . Появление импульсных переменных в лагранжиане аналогично появлению скоростей в гамильтониане.