Глава 2. Проблема квантования

Мы пришли к представлению о том, что существуют определенные преобразования переменных q и р, которые не связаны с изменением состояния и производящими функциями которых служат вторичные связи первого рода. Это наводит на мысль о том, что уравнения движения следует обобщить так, чтобы изменения со временем динамической переменной g включали не только любые изменения, описываемые уравнением (1.21), но также и любые изменения, не связанные с изменением состояния. Таким образом, мы должны рассмотреть более общее уравнение движения

где — обобщенный гамильтониан, являющийся суммой прежнего гамильтониана и всех тех производящих функций (или генераторов) с произвольными коэффициентами, отвечающих преобразованиям, не связанным с изменением состояния:

Те генераторы которые не содержатся уже в будут вторичными связями первого рода. Присутствие новых членов в гамильтониане приводит к добавочным изменениям динамической переменной g, но добавочным изменениям не соответствует никакое изменение состояния, поэтому такие члены определенно должны быть включены в гамильтониан, даже если мы не получаем добавочных изменений g при работе непосредственно с лагранжианом.

Итак, мы приходим к обобщенной гамильтоновой теории. В том виде, в каком теория развита мною здесь, она применима в случае конечного числа степеней свободы, однако ее нетрудно обобщить на случай бесконечного числа степеней свободы. Индексом, нумерующим степени свободы, у нас служит ; без особого труда можно

сделать N бесконечным. Дальнейшее обобщение теории мы получим, считая, что число степеней свободы континуально бесконечно. Этим я хочу сказать, что в качестве наших q и р можно взять переменные где — индекс, который принимает непрерывные значения в некоторой области. Используя этот индекс мы должны заменить все наши прежние суммы по n интегралами. С таким изменением можно непосредственно использовать все предыдущее рассмотрение.

Имеется только одно уравнение, с которым мы должны поступить несколько иначе, — это уравнение (1.3), которое определяет импульсные переменные,

Если n принимает все значения непрерывного спектра, то мы должны понимать под этим частным дифференцированием операцию частного функционального дифференцирования, которую можно точно определить следующим образом. Придадим скоростям в лагранжиане вариации и положим затем

Коэффициент при стоящий в подынтегральном выражении для , есть по определению

После изложения этой общей абстрактной теории, я думаю, было бы полезно привести простой пример в качестве иллюстрации. Я возьму для этого электромагнитное поле Максвелла, заданное потенциалами А. Динамические координаты теперь представляют собой значения потенциалов во всех точках пространства в определенный момент времени. Иными словами, динамическими координатами являются где индекс отвечает трем координатам точки в трехмерном пространстве в заданный момент времени (а не четырем координатам используемым в теории относительности). Тогда в качестве динамических скоростей мы будем иметь производные по времени от динамических координат, и я буду обозначать их индексом 0 после запятой.

Любой индекс с запятой перед ним означает дифференцирование по общему правилу:

Мы имеем дело со специальной теорией относительности, поэтому можно поднимать и опускать индексы согласно правилам этой теории: поднимая или опуская индексы 1, 2 или 3, мы должны менять знак, но, поднимая или опуская индекс 0, знак менять не нужно.

В качестве нашего лагранжиана для электродинамики Максвелла мы имеем (в единицах Хевисайда)

Здесь означает произведение дифференциалов интегрирование ведется по всему трехмерному пространству и F — тензор электромагнитного поля, определяемый через потенциалы выражением

Величина L является лагранжианом, поскольку интеграл от нее по времени есть интеграл действия максвелловского поля.

Возьмем теперь этот лагранжиан и, применяя правила нашего формализма, перейдем к гамильтониану. Прежде всего мы должны ввести импульсы. Сделаем это посредством варьирования скоростей в лагранжиане. Взяв вариации скоростей, получим

Далее, импульсы определяются из выражения

и эти импульсы будут удовлетворять основному соотношению со скобками Пуассона

Здесь А берется в точке трехмерного пространства, В — в точке трехмерного пространства; g — просто символ Кронекера, а представляет собой трехмерную дельта-функцию от . Сравнив выражения (2.7) и (2.8) для найдем

Учтем, что тензор антисимметричен:

Таким образом, если мы возьмем в (2.10), то получим нуль. Итак, величина равна нулю. Это — первичная связь. Я запишу ее в виде слабого равенства

Другие три импульса равны просто компонентам электрического поля.

Я хотел бы напомнить вам, что равенство (2.12) выражает не просто одну первичную связь — оно включает в себя утроенное бесконечное число первичных связей ввиду наличия индекса отвечающего некоторой точке трехмерного пространства, и каждое значение дает нам свою первичную связь.

Введем теперь гамильтониан. Мы определим его обычным образом:

Окончательный вид этого выражения получен после выполнения интегрирования по частям. Это выражение для гамильтониана вовсе не содержит скоростей. В него входят только динамические координаты и импульсы. Правда, величины содержат частные производные потенциалов, но эти частные производные берутся только по переменным ,

. При этом никаких скоростей не появляется. Такие частные производные являются функциями динамических координат.

Мы можем теперь вывести условия непротиворечивости с помощью первичных связей (2.12). Поскольку условия (2.12) должны выполняться всегда, величина обязана равняться нулю. Это ведет к уравнению

Оно снова является связью, так как в него вовсе не входят скорости. Это — вторичная связь, возникающая таким путем в теории Максвелла. Продолжая проверять условия непротиворечивости, мы должны раскрыть равенство

Мы найдем, что оно сводится к тождеству . Это равенство не дает нам ничего нового и выполняется автоматически. Мы, следовательно, получили все связи в нашей задаче. Условие (2.12) дает первичную связь; (2.14) выражает вторичную связь.

Нам нужно выяснить теперь, первого или второго рода эти связи; мы найдем без труда, что все они первого рода. Действительно, величины Во являются импульсными переменными. Скобки Пуассона их друг с другом все равны нулю. Также и для скобки Пуассона их друг с другом обращаются в нуль. Это же справедливо и для Вггх с Поэтому все эти величины являются связями первого рода. В электродинамике Максвелла связи второго рода отсутствуют.

Выражение (2.13) определяет Н как величину первого рода, поэтому гамильтониан Н можно взять в качестве Н в формуле (1.33). Посмотрим теперь, чему равен полный гамильтониан:

Функция представляет собой произвольный коэффициент в каждой точке трехмерного пространства. Мы всего лишь добавили здесь первичные связи первого рода с произвольными коэффициентами, что мы обязаны были сделать согласно правилам построения полного гамильтониана.

Зная полный гамильтониан, мы получаем уравнения движения в стандартной форме (1.21):

Величина g здесь может быть какой-либо характеристикой поля в некоторой точке трехмерного пространства или может быть также функцией переменных поля в различных точках трехмерного пространства. Она может быть, например, интегралом по трехмерному пространству. Эта величина g в самом общем смысле может быть любой функцией q и р во всем трехмерном пространстве.

Допустимо взять и тогда мы получим

поскольку скобки Пуассона для с любой величиной, за исключением входящей в последний член в (2.16), обращаются в нуль. Отсюда выясняется смысл произвольного коэффициента имеющегося в полном гамильтониане. Это производная по времени от .

Далее, чтобы получить физически допустимое движение самого общего вида, мы должны перейти к обобщенному гамильтониану. Для этого мы добавляем вторичные связи первого рода с произвольными коэффициентами их и получаем обобщенный гамильтониан

Включение в гамильтониан добавочного члена делает возможным движение более общего типа. При этом становятся допустимыми новые изменения переменных q и р такие, как преобразования калибровки. Это добавочное изменение переменных q и р приводит к новому набору q и р, который должен соответствовать тому же самому состоянию.

К такому результату мы приходим, преобразуя в соответствии с нашими правилами теорию Максвелла к гамильтоновой форме. После того как мы дошли до рассматриваемого этапа этой процедуры, мы видим, что имеется возможность некоторого упрощения. Это упрощение возможно потому, что переменные не имеют никакого физического смысла. Посмотрим, что вытекает для и Во из уравнений движения. Переменная в любой момент времени. Это неинтересно. Переменная есть величина, производная по времени от которой совершенно произвольна. Это снова неинтересно. Переменные

и следовательно, не представляют для нас никакого интереса. Мы можем устранить их из теории, и это приведет к упрощенному гамильтонову формализму, в котором у нас меньше степеней свободы, но по-прежнему сохранены все степени свободы, интересные с физической точки зрения.

Чтобы провести это «изгнание» переменных опустим член в гамильтониане. Этот член просто обеспечивал возможность произвольного изменения Член — в гамильтониане можно скомбинировать со слагаемым в обобщенном гамильтониане. В любом случае коэффициент их является произвольным. Скомбинировав эти два члена, мы просто заменяем коэффициент их на столь же произвольный коэффициент . Таким образом, мы получаем новый гамильтониан

Этот гамильтониан вполне позволяет найти уравнения движения для всех физически интересных переменных. Переменные уже больше не входят в него. Таков гамильтониан теории Максвелла в его простейшем виде.

Обычный гамильтониан, с которым работают в квантовой электродинамике, не вполне совпадает с этим. Его форма основывается на теории, развитой первоначально Ферми. Теория Ферми содержит ограничение, налагаемое на потенциалы,

Наложение такого ограничения на выбор калибровки вполне допустимо. Гамильтонова теория, развиваемая мною здесь, не содержит такого ограничения, так что в ней разрешен совершенно произвольный выбор калибровки. Таким образом, данная теория несколько отличается от формализма Ферми. В нашем формализме во всей полноте выявляются трансформационные свойства теории Максвелла при самых общих градиентных преобразованиях. Теория Максвелла здесь иллюстрирует общие идеи относительно первичных и вторичных связей.

Я хотел бы теперь вернуться к общей теории и рассмотреть проблему квантования гамильтоновой теории. Чтобы обсудить этот вопрос о квантовании, возьмем сначала случай, когда все связи являются связями

первого рода, а связи второго рода отсутствуют. Мы считаем наши динамические переменные q и р операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям, соответствующим СП-соотношениям классической теории. Это совершенно ясно. Затем мы вводим уравнение Шредингера

где — волновая функция, на которую действуют операторы q и р. Оператор Н представляет собой гамильтониан — величину первого рода в нашей теории.

Далее мы налагаем на волновую функцию некоторые дополнительные условия, а именно:

(2.22)

Каждая из наших связей, таким образом, приводит к дополнительному условию для волновой функции. (Напомним, что все связи сейчас первого рода.)

Первое, что мы должны сделать теперь, — это проверить, согласуются ли между собой уравнения для Возьмем два из дополнительных условий и посмотрим, нет ли противоречия между ними. Рассмотрим (2.22) и

(2.22а)

Умножив (2.22) на , получим

а умножив (2.22а) на найдем

Вычитая одно равенство из другого, имеем

Это есть дополнительное условие, налагаемое на которое должно выполняться для непротиворечивости. Но мы не хотим иметь никаких новых условий для Мы хотим, чтобы все требования, которым

должна подчиняться содержались в (2.22). Иначе говоря, мы хотим, чтобы (2.24) следовало из (2.22), а это означает, что мы требуем выполнения равенства

Если равенство (2.25) действительно выполняется, то (2.24) является следствием (2.22), а не новым условием, налагаемым на волновую функцию.

Далее мы знаем, что в классической теории все связи первого рода, а это значит, что в этом случае скобка Пуассона любых двух связей равна линейной комбинации . Переходя к квантовой теории, мы должны получить подобное равенство, справедливое для коммутатора, но при этом совсем не обязательно должно следовать, что все коэффициенты с стоят слева. Нам нужно, чтобы все коэффициенты с находились слева, ибо в общем случае они будут функциями координат и импульсов и не будут коммутировать с в квантовой теории; (2.24) будет являться следствием (2.22) только при условии, что все коэффициенты с стоят слева.

При введении в квантовую теорию величин может появиться некоторая неоднозначность. Соответствующие классические выражения могут содержать величины, не коммутирующие в квантовом случае, и тогда мы должны решить вопрос, в каком порядке ставить множители в квантовой теории. Нужно попытаться подобрать такое расположение этих множителей, чтобы было справедливо равенство (2.25) и все коэффициенты с в правой части (2.25) стояли бы слева. Если мы сможем это сделать, то тогда все дополнительные условия будут согласованы друг с другом. Если же это сделать не удастся — тогда нам не везет и мы не в состоянии построить последовательную квантовую теорию. Во всяком случае, мы имеем первое приближение квантовой теории, ибо наши уравнения вполне удовлетворительны, если рассматривать их только с точностью до первого порядка по постоянной Планка Н и пренебречь величинами порядка

Я обсудил сейчас требования, предъявляемые к дополнительным условиям для согласования их друг с другом. Подобное же рассмотрение следует провести, чтобы проверить непротиворечивость дополнительных условий уравнению Шредингера. Если мы возьмем волновую функцию которая удовлетворяет дополнительным условиям (2.24), и предположим, что она изменяется со временем согласно уравнению

Шредингера, то будет ли наша функция по истечении небольшого промежутка времени по-прежнему удовлетворять дополнительным условиям? Мы можем установить, что это имеет место при выполнении следующего требования:

оно означает, что если мы не хотим получить новое дополнительное условие, коммутатор должен быть некоторой линейной функцией величин , т. е.

Снова мы пришли к уравнению, выполняющемуся, как нам известно, в классической теории. Величины и Н относятся к первому роду, поэтому скобка Пуассона для них слабо исчезает. Таким образом, скобка Пуассона в классической теории равна в сильном смысле некоторой линейной функции величин Снова мы должны попытаться найти такое взаимное расположение величин, чтобы в соответствующем квантовом уравнении все наши коэффициенты стояли слева. Это необходимо для построения последовательной квантовой теории, но, вообще говоря, для того чтобы это сделать, нужна известная доля удачи.

Рассмотрим теперь задачу о квантовании гамильтоновой теории, в которой есть связи второго рода. Этот вопрос мы сначала обсудим на простом примере. В качестве последнего мы можем взять две связи второго рода

Если в теории появляются эти связи, то, так как они относятся ко второму роду, их скобка Пуассона будет отлична от нуля. Что можно сделать с ними при переходе к квантовой теории? Мы не можем налагать (2.28) в качестве дополнительного условия на волновую функцию, как это мы делали со связями первого рода. Если мы попытаемся положить то мы немедленно придем к противоречию, поскольку мы должны были бы иметь

Следовательно, так поступать нельзя. Мы должны принять какой-то другой план действий.

В данном простом случае совершенно очевидно, каким должен быть этот план. Переменные не представляют интереса, раз они могут иметь только нулевые значения. Поэтому степень свободы с номером 1 не имеет никакого значения. Мы можем отбросить степень свободы 1 и работать с другими степенями свободы. Это сводится к другому определению скобок Пуассона. Нам нужно использовать следующее определение скобок Пуассона в классической теории:

Здесь суммирование проводится по . Этого будет достаточно, поскольку здесь учитываются все физически интересные переменные. После этого мы могли бы просто взять тождественно равными нулю. В этом нет никакого противоречия, и мы можем переходить к квантовой теории, формулируя ее только для системы со степенями свободы

В данном простом случае совершенно ясно, что нужно сделать для построения квантовой теории. Попытаемся теперь рассмотреть более общий случай. Предположим, что мы имеем

здесь f является произвольной функцией всех других переменных q и р. Мы можем подставить вместо в гамильтониан и во все другие связи и таким образом устранить степень свободы с номером 1. О ней можно забыть и просто рассматривать другие степени свободы, а затем перейти к квантовой теории для системы с этими остальными степенями свободы. Нам снова придется использовать скобки Пуассона типа (2.29), в которых учитываются только остающиеся степени свободы.

Этот прием используется при квантовании теории, содержащей связи второго рода. Существование связей второго рода означает, что имеются некоторые степени свободы, несущественные с физической точки зрения. Мы должны выявить эти степени свободы и определить новые скобки Пуассона, в которых учитываются только остающиеся степени свободы, имеющие физическое значение. Тогда с помощью этих новых скобок Пуассона мы сможем перейти к квантовой теории. Я хотел бы обсудить общую процедуру выполнения этой задачи.

Вернемся пока к классической теории. Мы имеем ряд связей ; некоторые из них относятся к первому роду, некоторые — ко второму. Мы можем заменить эти связи их независимыми линейными комбинациями, которые будут ничем не хуже первоначальных связей. Попытаемся подобрать линейные комбинации таким образом, чтобы свести как можно больше связей к связям первого рода. Может остаться некоторое число связей второго рода, составляя линейные комбинации которых, мы уже не сможем получить связей первого рода. Эти оставшиеся связи второго рода я обозначу через Таким образом, S есть число связей второго рода, никакая линейная комбинация которых не относится к первому роду.

Рассмотрим такие оставшиеся связи второго рода и составим скобки Пуассона для всех их друг с другом, а затем построим из этих скобок Пуассона детерминант :

Теперь я хочу доказать следующую теорему.

Теорема. Детерминант не обращается в нуль даже в слабом смысле.

Доказательство.

Предположим, что детерминант обращается в нуль. Я хочу показать, что это допущение приводит к противоречию. Если детерминант исчезает, то его ранг равен Построим тогда другой детерминант:

Он имеет строк и столбцов. Число может равняться S или может быть меньше S. При разложении детерминанта А по элементам его первого столбца каждый из этих элементов умножается на один из миноров . Мне нужно, чтобы не все эти миноры обращались в нуль.

Может все же случиться так, что они исчезают все. В таком случае следует выбрать иным образом набор величин входящих в А. Всегда должен существовать некоторый способ такого выбора входящих в А, при котором не все миноры исчезают, ибо ранг равен Т. Поэтому мы выбираем таким образом, чтобы коэффициенты при элементах первого столбца не все обращались в нуль.

Теперь я покажу, что скобки Пуассона детерминанта А с любой из величин равны нулю. Если мы хотим составить скобку Пуассона с детерминантом, то искомый результат мы получим, взяв скобку Пуассона с первым столбцом детерминанта, прибавив к этому скобку Пуассона со вторым столбцом, и т. д. Таким образом, имеем

Результат выглядит довольно громоздко, но нетрудно заметить, что каждый из этих детерминантов обращается в нуль. Прежде всего исчезает первый детерминант в правой части. Действительно, если относится к первому роду, то тогда обращается в нуль первый столбец; если относится ко второму роду, то тогда представляет собой одну из величин и мы имеем детерминант, являющийся частью детерминанта из строк и столбцов. Но, по предположению, ранг равен Т, поэтому любая его часть с строками и столбцами обращается в нуль. Далее, второй детерминант в правой части слабо исчезает, ибо слабо исчезает его первый столбец. Аналогичным образом все другие детерминанты слабо обращаются в нуль. В результате вся правая часть равна нулю в слабом смысле. Таким образом, детерминант А является величиной, скобки Пуассона которой с любой из величин слабо равны нулю.

Кроме того, мы можем разложить детерминант А по элементам его первого столбца и получить А в виде линейной комбинации величин

Таким образом, мы пришли к тому результату, что скобки Пуассона некоторой линейной комбинации всеми равны нулю. Это значит, что данная линейная комбинация относится к первому роду. Такой вывод противоречит нашему предположению о том, что мы выявили все, какие только есть, связи первого рода. Тем самым теорема доказана.

Попутно выясняется, что число остающихся связей которые нельзя отнести к первому роду, должно быть четным, потому что детерминант А антисимметричен. Любой антисимметричный детерминант с нечетным числом строк и столбцов обращается в нуль. Рассматриваемый детерминант не исчезает, а потому должен иметь четное число строк и столбцов.

Ввиду того, что детерминант не равен нулю, мы можем ввести матрицу обратную той, чей детерминант есть . Определим матрицу , с помощью уравнения

Дадим теперь новое определение скобок Пуассона, соответствующее этому формализму: для любых двух величин и новая скобка Пуассона определяется как

Нетрудно проверить, что определенные таким образом новые скобки Пуассона подчиняются всем правилам обычных скобок Пуассона: скобка антисимметрична относительно и линейна по и по для нее имеет место правило произведений и она удовлетворяет тождеству Якоби . Я не знаю никакого изящного способа доказательства тождества Якоби для новых скобок Пуассона. Если мы просто подставим соответствующие выражения и раскроем их путем довольно сложных выкладок, то найдем, что все члены взаимно уничтожаются и левая часть будет равна нулю. Я думаю, что должен существовать какой-то более прозрачный способ доказательства этого тождества, но мне не удалось его отыскать. Прямой метод описан мною. Эту задачу также рассматривал Бергманн.

Посмотрим теперь, что можно сделать, имея эти новые скобки Пуассона. Прежде всего я хотел бы отметить, что уравнения движения по-прежнему справедливы с новыми скобками Пуассона, коль скоро они верны при первоначальном определении скобок Пуассона. Так как все члены вида слабо обращаются в нуль и является величиной первого рода, то

Таким образом, мы можем написать

Теперь, если мы возьмем произвольную функцию любых переменных q и р и составим новую скобку Пуассона ее с одной из величин х, скажем то с Учетом определения (2.30) получим

Следовательно, мы можем положить величины равными нулю до вычисления новых скобок Пуассона. Это означает, что равенство

можно рассматривать как равенство в сильном смысле.

Модифицируя таким способом нашу классическую теорию и вводя эти новые скобки Пуассона, мы подготавливаем почву для перехода к квантовой теории. Затем мы ставим перестановочные соотношения в соответствие новым СП-соотношениям и считаем сильные равенства (2.32) уравнениями для операторов квантовой теории. Тем самым осуществляется переход к квантовому случаю. Остающиеся слабые уравнения — все первого рода; они снова становятся дополнительными условиями, налагаемыми на волновые функции. Ситуация оказывается теперь аналогичной предыдущему случаю, в котором имелись только связи первого рода. Следовательно, мы опять развили метод квантования нашей общей классической теории в гамильтоновой форме. Конечно, снова нужно, чтобы нам повезло, и тогда мы сможем сделать так, чтобы все коэффициенты стояли слева в условиях непротиворечивости.

Этим завершается построение общего метода квантования. Отметим, что при переходе к квантовой теории различие между первичными и вторичными связями теряет всякое значение; оно в значительной мере зависит от вида исходного лагранжиана. Коль скоро мы перешли к гамильтонову формализму, мы фактически можем забыть о различии между первичными и вторичными связями. Различие же между связями первого и второго рода является очень важным. Мы должны отнести как можно больше связей к первому роду и ввести новые скобки Пуассона, которые позволят нам рассматривать остающиеся связи второго рода как сильные.