10. Приложение к релятивистской динамике

В обычной нерелятивистской динамике работают с состояниями динамической системы в данный момент времени, причем это состояние характеризуется заданием значений q и р. Имеются уравнения движения, позволяющие по состоянию в один момент времени вычислить состояние в другой момент. Гамильтонова форма этих уравнений движения в случае однородности по скоростям требует только одной первого рода.

Чтобы получить динамическую теорию, удовлетворяющую частному принципу относительности, мы должны построить схему уравнений, равно применимых для наблюдателей со всеми скоростями. Если мы работаем с мгновеньями, мы должны охватить мгновенья относительно всех наблюдателей. Тогда мгновенье — это любая плоская трехмерная поверхность в пространстве-времени, нормаль к которой лежит внутри светового конуса. Чтобы описать общее мгновенье, нужны четыре параметра — три для фиксации направления нормали (скорости наблюдателя) и четвертый, чтобы различить разные мгновенья для одного наблюдателя.

Включая понятие мгновений, релятивистская динамика должна позволять по заданному состоянию в любое из этих мгновений вычислять состояние в любое другое. Мы должны располагать уравнениями движения, показывающими, как меняются динамические переменные с изменением этих мгновений. Мы должны допустить произвольные изменения мгновений — как трансляции в пространстве-времени, так и изменения в направлении нормали, и все это должны суметь описать уравнения движения. Таким образом, нам нужны четыре первого рода, чтобы породить четыре степени свободы в изменении мгновенья. Четыре параметра, описывающих мгновенье, следует понимать как q, подчиняющиеся наряду с другими q и р уравнениям движения (4.6) или (6.12). Их отличие от других q и р состоит в том, что именно их удобно взять в качестве переменных t в уравнениях движения (9.6). Тогда эти уравнения явно показывают, как меняются любые q и р при данном изменении мгновенья.

Есть другие формы релятивистской динамики, не использующие мгновений, как то обсуждалось автором [2]. Есть точечная форма, в которой состояние определяется относительно точки в пространстве-времени.

Для этой формы также нужны четыре первого рода, соответственно четырем степеням свободы движения точки. Далее, есть фронтальная форма, для которой нужны три первого рода, соответственно трем степеням свободы движения фронта. Наконец, мы можем задавать состояние на произвольной трехмерной пространственноподобной поверхности в пространстве-времени. Тогда число первого рода должно быть бесконечным, соответственно всем деформациям, которые можно сделать с этой поверхностью. В каждой из этих форм переменные, описывающие точку, волновой фронт или произвольную пространственноподобную поверхность, следует понимать как q, подчиняющиеся уравнениям движения (4.6) или (6.12) и предпочтительно удобные для выбора в качестве переменных t в уравнении (9.6).

Обсуждавшиеся выше первого рода минимально необходимы для построения релятивистской динамики в соответственных формах. Могут быть и другие. Например, электродинамика, допускающая калибровочные преобразования даже после фиксации начальных значений всех q и р, должна обладать добавочными степенями свободы, для порождения которых будут нужны добавочные первого рода.