2. х-уравнения

Дифференцируя по времени (1.2) и используя (1.12), мы получаем

Если не все эти уравнения сводятся к , они уменьшат число гамильтоновых переменных q, р, u, выявив некоторые соотношения между ними.

Может оказаться, что уравнения (2.1) приводят к некоторым соотношениям только между q и р, независимым по отношению к уравнениям. Они должны быть слабыми уравнениями, поэтому запишем их в виде

Дифференцируя по времени каждое из уравнений (2.2), получаем

Эти уравнения могут приводить к новым соотношениям только между q и р, т. е. к новым уравнениям (2.2), которые, в свою очередь, могут привести к новым уравнениям (2.3). Продолжим эту процедуру до тех пор, пока она идет, получив таким образом все уравнения (2.2) и (2.3), являющиеся следствиями (1.2) и общего уравнения движения (1.12). Пусть полный набор описывается индексами . Таким образом, число независимых р и q мы свели до , а и ограничили уравнениями (2.1) и (2.3), если только эти уравнения не сводятся к или к -уравнениям.

Рассмотрим эти уравнения (2.1) и (2.3) как уравнения для неизвестных с коэффициентами, заданными как функции q и р. Они должны иметь решение

поскольку из отсутствия его следовала бы противоречивость лагранжевых уравнений движения (1.3). По смыслу решения (2.4), уравнения

выполняются вследствие (1.2) и (2.2).

Вообще говоря, решение (2.4) неоднозначно. Мы можем добавить к любое решение уравнений

Пусть — все независимые решения уравнений (2.6). Тогда общее решение уравнений (2.1) и (2.3) есть

где — произвольные коэффициенты.

С помощью уравнений (2.7) можно исключить переменные так что в качестве основных гамильтоновых переменных мы имеем оставшихся независимыми после учета уравнений (1.2) и (2.2) переменных q и р и А переменных . Полное число этих переменных может быть значительно меньше первоначального числа независимых переменных, поскольку уравнения движения могут сократить его.

Андерсон и Бергман называют -уравнения первичными связями, а х-уравнения — вторичными связями. Во многих аспектах выступают на равных, и поэтому удобно их все обозначать как . С гамильтоновой точки зрения существенно то различие между ними, что фигурируют в общем уравнении движения (1.12), а х нет.