10. Трансверсальная структура и сингулярные орбиты.

Согласно обобщению теоремы Дарбу [46] пуассоново многообразие вблизи любой точки допускает разложение — на симплектический лист S и трансверсальное к нему дополнение N, которое задается как многообразие уровня функций с невырожденной матрицей Оба многообразия S и N пуассоновы; на S пуассонова (симплектическая) структура получается обычным ограничением исходной скобки, а на N — может быть получена по формуле Дирака (8.3). Говорят, что на N определена трансверсальная пуассонова структура [2, 46].

Вблизи регулярной точки через проходит симплектический лист S максимальной размерности, а скобка Пуассона на N тождественно равна нулю. Нетривиальная пуассонова структура на N возникает вблизи сингулярной точки , через которую проходит симплектический лист меньшей размерности. В этом случае точка является также особой точкой пуассоновой структуры на N, где ее ранг падает до нуля.

Трансверсальная пуассонова структура использована в работе [42] для изучения согласованной скобки в цепочках Тоды на полупростых алгебрах Возникающая в этом случае скобка, полученная из квадратичной, оказалась дробно-рациональной.

Вопрос о возможности приведения трансверсальной пуассоновой структуры к наиболее простому виду вблизи особой точки (в частности линеаризация) рассматривался в работах [47, 36]. В [47] приведены примеры нелинеаризуемых пуассоновых структур вблизи сингулярных орбит алгебры Ли. В [42] указаны условия на алгебру Ли и ее сингулярные орбиты, при которых трансверсальная пуассонова структура может быть приведена к неоднородному квадратичному виду.