2. Неортогональные декартовы координаты

Прежде чем перейти к математическому аппарату общей теории относительности, удобно рассмотреть промежуточный формализм — специальную теорию относительности в неортогональных декартовых координатах.

При переходе к неортогональным осям каждая из величин в выражении (1.1) оказывается линейной функцией новых и квадратичная форма (1.1) становится общей квадратичной формой по новым которую можно записать в виде

где подразумевается суммирование как по так и по v. Коэффициенты зависят от выбора неортогональной декартовой системы координат. Мы, конечно, полагаем , так как любое различие между не сказалось бы на выражении для квадратичной формы (2.1). Имеется, таким образом, десять независимых коэффициентов .

При преобразованиях координат четыре компоненты произвольного контравариантного вектора преобразуются так же, как . Тогда является инвариантом. Этот инвариант есть квадрат длины вектора

Пусть — другой контравариантный вектор; тогда также является вектором для произвольного значения числа А. Квадрат его длины есть

Эта величина должна быть инвариантом при всех значениях А. Отсюда следует, что коэффициенты при являются инвариантами. Коэффициент при имеет вид

так как во втором члене левой части можно поменять местами и v и воспользоваться условием . Таким образом, выясняется, что является инвариантом. Этот инвариант есть скалярное произведение

Пусть g — детерминант Значение g не должно равняться нулю; в противном случае четыре оси не описывают независимые направления в пространстве-времени и не могут быть выбраны в качестве координатных осей. В ортогональных декартовых координатах, рассмотренных в предыдущей главе, диагональные элементы равны 1, —1, — 1, —1, а недиагональные элементы равны нулю. Тогда . В неортогональных декартовых координатах g должен оставаться отрицательным, поскольку неортогональные координаты могут быть получены из ортогональных непрерывным процессом, выражающимся в непрерывном изменении g; следовательно, значение g не может проходить через нуль.

Определим величину , называемую ковариантным вектором, следующим образом:

Так как g не обращается в нуль, эти уравнения позволяют выразить через . Пусть результат имеет вид

Каждая компонента равна алгебраическому дополнению соответствующей компоненты в детерминанте матрицы , деленному на сам детерминант g. Следовательно,

Подставим в (2.2) выражение для из (2.3). Чтобы не получить три одинаковых индекса в одном члене, нужно заменить немой индекс в (2.3) каким-нибудь другим греческим индексом, скажем р. Тогда получим

Так как это соотношение должно иметь место для произвольной четырехкомпонентной величины , заключаем, что

где

При помощи формулы (2.2) можно опустить у тензора любой верхний индекс; при помощи формулы (2.3) можно поднять любой нижний индекс. Если определенный индекс поднять и снова опустить, то, согласно (2.4) и (2.5), тензор не изменится. Заметим, что g просто производит замену индексом р:

или р индексом :

Применив правило поднятия индекса , получим

Это согласуется с (2.4), если принять во внимание, что вследствие симметрии индексы в можно писать один под другим. Поднимая далее по тому же правилу индекс v, имеем

Этот результат непосредственно следует из (2.5). Правила поднятия и опускания индексов применимы ко всем индексам в .