7. Приложения к механике.

Оказывается, что ряд задач механики, например, уравнения, изучаемые в классической динамике твердого тела, динамике вихрей, могут быть записаны в виде уравнений Гамильтона на пуассоновом многообразии со скобкой Ли-Пуассона (6.1). Отличием этих уравнений от канонической формы записи, как правило, является их простота и алгебраичность.

Остановимся более подробно на скобках Пуассона, возникающих в динамике твердого тела.

При выборе переменных для описания движения твердого тела вокруг неподвижной точки, в которых уравнения движения имеют наиболее простой вид, еще Л. Эйлер (1758 г.) предложил использовать проекции кинетического момента твердого тела на оси, связанной с телом системы координат. Уравнения Эйлера, описывающие вращение твердого тела по инерции (I — тензор инерции)

могут быть записаны как уравнения Гамильтона со скобкой Ли-Пуассона, порожденной структурными константами алгебры :

и функцией Гамильтона .

Скобка (7.2) является вырожденной и обладает функцией Казимира — интегралом момента:

Ненулевой уровень этой функции задает симплектический лист — двумерную сферу, при редукции на него скобка (7.2) становится невырожденной — ее ранг равен двум (центр сферы является сингулярной нульмерной орбитой). Координатами Дарбу в этом случае является система цилиндрических координат [26]. Задание гамильтониана в виде

определяет левоинвариантную риманову метрику на группе Ли . Операторы и обратный ему являются положительно определенными и задают переход от угловых скоростей

к компонентам кинетического момента М. Уравнения (6.6) представляют собой уравнения геодезических на группе Ли, снабженной левоинвариантной римановой метрикой. Связь между уравнениями геодезических и уравнениями Эйлера динамики твердого тела обсуждается в [3], где также дается определение угловой скорости (кинетического момента) в теле и пространстве как элементов алгебр Ли, полученных перенесением из касательного пространства в некоторой точке группы при помощи, соответственно, левых и правых сдвигов. Левоинвариантность формы кинетической энергии твердого тела при этом обусловлена тем, что она определяется вектором угловой скорости в теле и не зависит от расположения тела в пространстве.

Развивая идею Эйлера, С. Пуассон (1810 г.) вывел более общие уравнения, описывающие движение тяжелого твердого тела в однородном поле тяжести вокруг неподвижной точки, используя, наряду с компонентами вектора кинетического момента, проекции единичного орта вертикали на те же оси.

Оказывается, что уравнения Эйлера-Пуассона (а также уравнения Кирхгофа, описывающие движение однородного твердого тела в идеальной безвихревой жидкости по инерции) в переменных могут быть представлены как гамильтоновы уравнения со скобкой Ли-Пуассона, определяемой коммутационными соотношениями:

и гамильтонианом , где — тензор инерции, Р — вес тела, — радиус-вектор центра масс в системе, связанной с телом.

Эти коммутационные соотношения отвечают алгебре являющейся полупрямой суммой алгебры вращений и трехмерной алгебры трансляций . Эта алгебра не является полупростой и обладает абелевым идеалом, определяемым переменными . Переменные типа в механике называют иногда квазикоординатами.

Движения тела с полостями, имеющими жидкое вихревое наполнение, можно также описать как гамильтонову систему на алгебре являющейся прямой суммой двух алгебр вращений: . При этом, один экземпляр отвечает кинетическому моменту тела, а второй — вектору завихренности (см. [8, 31]). Уравнения движения в этом случае были получены А. Пуанкаре [43], который

почти в современной форме отметил их связь с алгеброй . Другие примеры гамильтоновых уравнений, часть из которых имеют физическое обоснование, приведены в книгах [8, 31].

Замечание 2. Оказывается, что в виде (6.6) могут быть также записаны гидродинамические уравнения Эйлера идеальной (несжимаемой и невязкой) жидкости. В этом случае в качестве фазового пространства выступает группа диффеоморфизмов области течения, сохраняющих элемент объема [1, 3].

Замечание 3. В гидродинамике канонические координаты на симплектическом листе называются переменными Клебша [40]. Если их введение локально возможно по теореме Дарбу, то глобальное определение сделать не так просто, а иногда и невозможно. Это обусловлено топологией симплектического листа.

В последнее время, кроме линейных, обсуждаются также квадратичные скобки Пуассона. Содержательный пример существования квадратичных коммутационных соотношений, возникший из анализа уравнений Янга-Бакстера, был указан Е. К. Скляниным. Он рассмотрел алгебру скобок Пуассона, порожденную следующими соотношениями между образующими :

где

(здесь и далее обозначает циклические перестановки индексов.)

Скобка, задаваемая соотношениями (7.4), является вырожденной. Она обладает функциями Казимира

Более сложный пример квадратичной алгебры скобок Пуассона был указан в работе [11]. При этом между образующими А, В, С, D имеются следующие коммутационные соотношения

Скобка (7.6) также является вырожденной. Ее центральными функциями являются

Квадратичные скобки Пуассона возникают также в многомерных интегрируемых цепочках Тоды и Вольтерра и рассмотрены в книге [10].