25. Тензор энергии-импульса материи

Пусть задано распределение материи, скорость которой непрерывно меняется от точки к точке. Если обозначить координаты элемента материи, то можно ввести вектор скорости , который,

подобно полевым величинам, будет непрерывной функцией координат точки. Вектор скорости обладает следующими свойствами:

Отсюда

Можно ввести скалярное поле р таким образом, чтобы векторное поле определяло плотность и поток материи так же, как определяет плотность и поток электрического заряда; другими словами, чтобы являлось плотностью, — потоком. Необходимое условие для сохранения материи:

или

В рассматриваемом случае плотность и поток энергии материи будут иметь вид соответственно, плотность и поток импульса — Положим

Тогда содержит плотность и поток энергии и импульса. Эту величину называют тензором энергии-импульса материи. Тензор, , разумеется, симметричен.

Можно ли в качестве материального члена в правой части уравнений Эйнштейна (24.6) использовать ? Для этого требуется, чтобы выполнялось равенство . Из (25.4) имеем

Первый член в правой части обращается в нуль в силу закона сохранения массы (25.3). Второй член исчезает, если материя движется по

геодезическим, поскольку в случае, когда вместо того, чтобы быть заданной только на мировой линии, определена как непрерывная полевая функция, имеем

Тогда (8.3) приобретает вид

или

Теперь видно, что тензор энергии-импульса материи (25.4) с соответствующим численным множителем к можно подставить в уравнения Эйнштейна (24.4). Получим

(25.6)

Определим теперь значение коэффициента к. Перейдем, следуя методу, изложенному в разд. 16, к ньютонову приближению. Заметим прежде, что сворачивая (25.6), имеем

Тогда (25.6) можно записать в виде

В приближении слабого поля, в соответствии с (16.4), получаем

Рассмотрим статическое поле и статическое распределение материи. В этом случае . Полагая и пренебрегая членами второго порядка малости, находим

или с учетом (16.6)

Для того чтобы это совпало с уравнением Пуассона, нужно взять

Таким образом, уравнения Эйнштейна в присутствии движущейся материи имеют вид

(25.7)

Тогда задаваемое (25.4), совпадает с из уравнения (24.6). Условие сохранения массы (25.3) дает

следовательно,

Это условие фиксирует закон изменения р вдоль мировой линии элемента материи. При переходе от мировой линии некоторого элемента к мировой линии соседнего элемента условие (25.8) допускает произвольное изменение р. Значит, можно выбрать р, обращающимся в нуль везде, кроме семейства мировых линий, образующих трубку в пространстве-времени. Такое семейство описывало бы частицу конечных размеров. Вне частицы ; следовательно, применимы уравнения Эйнштейна для пустого пространства.

Заметим, что если принять общий вид полевых уравнений (25.7), то из них можно вывести два следствия: сохранение массы и движение материи по геодезическим. Вспомним для этого, что , обращается в нуль вследствие тождества Бианки, откуда имеем

или

Умножим это уравнение на Второй член даст нуль, что следует из (25.2), и останется , а это как раз совпадает с условием сохранения (25.3). Теперь уравнение (25.9) сводится к равенству , т. е. к уравнению геодезической. Таким образом, нет необходимости делать предположение о том, что частица движется по геодезической. Для малой частицы движение вдоль геодезической обеспечивается применимостью уравнений Эйнштейна для пустого пространства в области вокруг частицы.