21. Теоремы Гаусса и Стокса

Ковариантная дивергенция вектора является скаляром. Для нее можно записать выражение

Отсюда

Подставив в качестве S в получим инвариант

Если интеграл берется по ограниченному (четырехмерному) объему, то правую часть можно преобразовать по теореме Гаусса в интеграл по (трехмерной) граничной поверхности этого объема. При

Это приводит к закону сохранения, а именно к закону сохранения жидкости, плотность которой есть а поток задается трехмерным

вектором . Можно проинтегрировать (21.2) по трехмерному объему V при некотором фиксированном . В результате получим

— поверхностный интеграл по границе объема V. Если отсутствуют токи, пересекающие границу объема V, то есть константа.

Эти результаты для вектора нельзя, вообще говоря, распространить на тензор с большим числом индексов. Рассмотрим тензор с двумя индексами У. В плоском пространстве, используя теорему Гаусса, можно преобразовать в поверхностный интеграл; в искривленном пространстве в общем случае нельзя преобразовать объемный интеграл в поверхностный. Исключение составляет антисимметричный тензор . В этом случае

отсюда с учетом (20.6)

Тогда

Следовательно, равен поверхностному интегралу, и при условии получаем закон сохранения.

Для симметричного тензора если опустить один из индексов и работать с то можно получить соответствующее уравнение с дополнительным членом:

Подставив и использовав (20.6), получим

Поскольку симметричен, то можно с учетом (7.6) заменить в последнем члене величиной

В итоге можно записать

Для ковариантного вектора имеем выражение:

Результат (21.5) можно сформулировать так: ковариантный ротор равен обычному ротору. Это утверждение справедливо только для ковариантного вектора. Для контравариантного вектора по соображениям баланса индексов ротор образовать нельзя. Положим . Тогда получим

Проинтегрируем это равенство по некоторой области поверхности . Согласно теореме Стокса имеем

где последний интеграл берется по границе области. Таким образом, полученный интеграл по замкнутому контуру равен потоку через поверхность, ограниченную этим контуром. Этот результат должен иметь место не только в системе координат, в которой уравнение рассматриваемой поверхности есть , но и в общем случае, т. е. в любой системе координат.

Чтобы получить инвариантный способ записи этого результата, введем общее выражение для элемента двухмерной поверхности. Элемент поверхности, определяемый двумя малыми контравариантными векторами и задается антисимметричным тензором второго ранга:

Тогда, если имеют вид , то две компоненты выглядят следующим образом:

а остальные компоненты обращаются в нуль. Левая часть (21.6) принимает вид правая часть (21.6) есть, очевидно, , поэтому имеем