9. Гамильтониан как исходное понятие

Вместо того, чтобы начинать с лагранжиана и получать из него гамильтониан, можно начинать с гамильтониана. Мы полагаем, что имеются некоторые динамические переменные

и, возможно, другие динамические переменные, между которыми определены СП, обладающие свойствами (4.4), и что их связывают некоторые слабые уравнения в качестве -уравнений. На таком пути нет оснований различать По крайней мере, одна из должна быть первого рода, т.е. иметь нулевые СП со всеми , иначе не будет непротиворечивого движения. Предположим затем, что гамильтониан есть линейная комбинация первого рода) с новыми переменными в качестве коэффициентов, а гамильтоновы уравнения движения имеют вид (4.6) или (6.12). Сами v могут быть произвольными функциями независимой переменной .

Прежнюю схему уравнений движения, выведенных из лагранжиана и включающих как так, возможно, и следует считать примером настоящей схемы, в котором некоторые из v обращены в нуль дополнительными условиями. Тогда отвечающие этим суть первого рода в прежней схеме. Такие дополнительные условия, да и любые дополнительные условия, содержащие v, ничего не дают в применениях теории к релятивистской динамике, рассматриваемых в следующем разделе, и не могут быть перенесены в квантовую теорию, так что в дальнейшем они исключаются. Дополнительные же условия, по содержанию v, суть в точности -уравнения.

СП двух первого рода есть первого рода, в чем можно убедиться следующим образом. СП слабо обращается в нуль и поэтому в сильном смысле равна линейной комбинации — единственных величин, слабо равных нулю в настоящей схеме. Мы должны показать, что ее СП с любой слабо равна нулю. Из тождества Пуассона:

Поскольку — первого рода, слабо равна нулю и потому в сильном смысле есть линейная комбинация откуда ее СП с первого рода слабо обращается в нуль. Аналогично слабо обращается в нуль второй член в правой части (9.1), и необходимый результат доказан.

Предположим, что имеется А независимых первого рода и М всех независимых . В фазовом пространстве (-мерном пространстве переменных ) имеется — -мерное подпространство, в котором выполнены все -уравнения. Назовем его — -пространством. Состояние динамической системы при данном значении фиксируется заданием переменных q и р, удовлетворяющих

всем -уравнениям, т. е. представляется точкой Р в -простран-стве. Движение системы, исходным для которого является это состояние, представляется в — -пространстве кривой с началом в Р. Благодаря произвольности А переменных эта кривая может уходить в любом направлении в малом пространстве А измерений, охватывающем Р. Для каждой точки — -пространства имеется такое малое -мерное охватывающее пространство. Покажем теперь, что эти малые пространства интегрируемы.

Предположим, что в интервале времени обращаются в нуль все v, за исключением равной 1, в следующем интервале — все v, за исключением также равной 1. Тогда любая функция g, зависящая от q и р, в конце первого интервала переходит в

В конце второго интервала, с учетом членов порядка но в пренебрежении членами порядка и она переходит в

Если эти два движения совершаются в обратной последовательности, g переходит в

Разность между (9.2) и (9.3) благодаря тождеству Пуассона равна

Выше было показано, что есть первого рода, так что (9.4) есть возможное изменение g, описываемое уравнениями движения при подходящем выборе v и поэтому отвечающее повороту в малом -мерном пространстве вокруг начальной точки. Это и есть условие интегрируемости. Если в дополнительные условия войдут v, эта интегрируемость может подпортиться. Таким образом, для выведенных из лагранжиана уравнений движения интегрируемость не обязательно имеет место.

Объединение малых пространств образует набор лежащих в — -пространстве -мерных пространств, таких, что движение

всегда происходит только в одном из них. Назовем эти пространства -пространствами. Каждая кривая в -пространстве представляет возможное решение уравнений движения. Каждая точка — -пространства лежит в некотором A-пространстве, содержащем все начинающиеся в этой точке траектории. Полным решением уравнений движения допустимо считать само A-пространство, а не кривую общего положения в нем.

Точку данного -пространства можно фиксировать А координатами, каждая из которых есть некоторая функция q и р. Обозначим эти координаты . Они будут играть роль временных переменных. Само -пространство можно описать, задав зависимость всех q и р от Если g есть любая из q и р или их функция, мы имеем

поскольку зависимость g от можно считать порожденной зависимостью от т. Используя гамильтоновы уравнения движения (6.12) для g и t, мы получаем

Это уравнение выполняется для произвольных , так что

Уравнения (9.6) можно считать общими уравнениями движения, фиксирующими A-пространство. В теории с однородностью по скоростям именно они наиболее похожи на обычные гамильтоновы уравнения движения. Если то мы можем взять в качестве времени единственную переменную и (9.6) сведется в точности к обычным гамильтоновым уравнениям движения.

Чтобы перейти от гамильтониана к лагранжиану, мы введем скорости уравнениями

а затем определим L:

(9.8)

Это задает L как функцию , причем линейную по q и v. Взяв независимые вариации мы получаем

Таким образом, SL не зависит от . Этот результат следует сопоставить с (3.2).

Если уравнения (9.7) вместе с -уравнениями выражают q как независимые функции р и v, позволяя тем самым считать р и v функциями , то (9.9) показывает, что L есть функция только q и q в сильном смысле. Эта функция должна быть однородной первой степени по q. Ее частные производные по q и q дают

Это обычные лагранжевы уравнения.

Если уравнения (9.7) вместе с -уравнениями не выражают q как независимые функции р и v, то они приводят к некоторым соотношениям, связывающим только q и q, скажем,

однородны по q, и мы выбираем их так, чтобы однородность была первой степени. Дальнейшие действия аналогичны методу § 3, но с взаимной переменой ролей у р и q. Мы получаем аналогичный (3.5) результат

где зависит только от и должен быть однородным первой степени по , а коэффициенты зависят от q, р и

Если А считать независимыми переменными при частном дифференцировании L, a L тогда однороден первой степени по q, мы возвращаемся к уравнениям (9.10). Таким образом, мы имеем лагранжиан, содержащий импульсные переменные; нечто подобное обсуждалось в конце предыдущего раздела, причем тогдашние отвечают теперешним , а дополнительные условия (8.9) — уравнениям (9.11).