ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА

Предложенная автором процедура перехода от лагранжиана к гамильтониану в ситуации, когда импульсы не являются независимыми функциями скоростей, приведена к более простой и практичной форме, причем основные результаты получены прямым решением уравнений, вытекающих из требований самосогласованности. Показано, как (при некоторых условиях) можно исключить часть степеней свободы и тем самым добиться существенного упрощения гамильтонова формализма.

Обычная процедура перехода от лагранжевой формы уравнений движения к гамильтоновой форме требует, чтобы импульсы были независимыми функциями скоростей. На практике имеется ряд важных случаев, когда это условие не выполнено — например, в релятивистской теории поля, — и возникает необходимость обобщить процедуру. Один из способов сделать это был предложен автором [1]. В настоящей статье он приводится к более простому и практичному виду.

Альтернативный подход к проблеме дан Андерсоном и Бергманом [2]. Будучи приложим только к квадратичным по скоростям лагранжианам, их метод менее общий, чем настоящий. В настоящем методе лагранжиан может быть любой функцией скоростей и координат, при единственном ограничении, чтобы лагранжевы уравнения движения не приводили к несовместности.

1. «фи»-уравнения

Рассмотрим динамическую систему, описываемую в терминах координат и скоростей с лагранжианом

Как обычно, определим импульсы

Может оказаться, что р не являются независимыми функциями q. Если

среди р имеется только N — М независимых функций q, возникнет М независимых соотношений

М может быть любым — от 0 до N. Лагранжевы уравнения движения

задают теперь N — M функций, зависящих от ускорений и дают М уравнений, связывающих только координаты и скорости. Может оказаться, что дифференцированием по времени (однократным или, возможно, многократным) мы можем получить некоторые новые независимые уравнения, содержащие ускорения. Если таких уравнений недостаточно, чтобы задать все ускорения, то общее решение уравнений движения с данными начальными значениями будет содержать несколько произвольных функций времени.

Сделаем произвольные малые вариации координат и скоростей. Они приведут к вариациям сохраняющим уравнения (1.1). Эти вариации должны сохранять и уравнения (1.2), являющиеся следствием (1.1), так что

Уравнения (1.4) будут единственными ограничениями на вариации учитывающими уравнения (1.2) в том смысле, что независимые вариации первого порядка дают вариации первого порядка . Мы имеем

Поскольку члены с сокращаются, вариация по q, сохраняющая уравнения (1.1) в отсутствие вариаций по q и р, оставляет неизменной . Это означает, что является функцией только q и р, так что мы можем положить

Конечно, функция определена неоднозначно. Мы можем сделать замену

(1.7)

где — любые функции q и р. В случае, когда L однороден первой степени по q, мы можем взять . Теперь уравнение (1.5) дает

где вариации ограничены уравнением (1.4), а в остальном произвольны. Поэтому

где — некоторые коэффициенты. При преобразовании (1.7) к добавляются функции, зависящие только от q и р, а именно, минус .

Уравнения (1.8) показывают, что q заданы через q, N — M независимых переменных р и М новых переменных u. Таким образом, вместо мы можем взять в качестве основных динамических переменных q, р и u. Это и есть гамильтоновы переменные.

С помощью (1.9) уравнения движения (1.3) принимают вид

Если обычным образом определить скобку Пуассона (СП)

то для любой g, зависящей от q и р, имеем

Одно это уравнение охватывает все уравнения (1.8) и (1.10). Оно есть общее гамильтоново уравнение движения.

Определение СП (1.11) требует, чтобы q и р считались независимыми переменными. Любые соотношения, ограничивающие, подобно уравнениям (1.2), независимость q и р, не должны использоваться до взятия СП, иначе СП потеряют однозначную определенность. Чтобы помнить об этом при работе с некоторыми из наших уравнений, удобно назвать такие ограничивающие уравнения слабыми уравнениями и записать их в виде