15. Предельные переходы в общем случае.

Рассмотрим голономную систему с функцией Лагранжа

где — малый параметр. При получается вырожденная по Q система. Следуя § 9 гл. 1, получим связи и гамильтоновы уравнения движения. Первичной связью будет служить

Вторичная связь получается из условия совместности

где

Пусть — решение уравнения (15.2). Это дает возможность вторичную связь представить в виде уравнения причем

Используем форму уравнений с неопределенным множителем. Гамильтониан является суммой , а коэффициенты однозначно находятся из условий совместности

Таким образом,

Уравнения Гамильтона со связями примут вид

где

Обоснованность механики Дирака вытекает из следующих рассуждений. Если функцию Гамильтона полной системы обозначить через , то

Соответствующие канонические уравнения будут

Решением (15.4) служат формальные ряды

где удовлетворяют уравнениям (15.3). Эти ряды не всегда сходятся. Но в случае, если для начальных данных выполнено условие определяющее вторичную связь, уравнения (15.4) перестают быть сингулярными, ряды будут сходиться, а вместо импульса Р следует взять новую переменную Случай, когда условие .

выполнено тождественно, является особым. (При этом Р является интегралом системы при Уравнения (15.5) описывают в этом случае решение для и Q, которые не удовлетворяют (15.3) и вообще каким-либо гамильтоновым уравнениям (при этом, как правило, q = 0). Эта ситуация соответствует так называемым ограниченным задачам типа ограниченной задачи трех тел в небесной механике.

Рассмотрим две задачи динамики твердого тела, в которых производится предельный переход в инерционных характеристиках твердого тела двумя различными способами. В одном случае он эквивалентен наложению связей в фазовом пространстве и дает возможность использовать процедуру Дирака. При этом как первоначальная скобка, так и скобка Дирака, являются вырожденными. В другом — предельная система не может быть получена при помощи процедуры Дирака и априори является негамильтоновой. Она носит название ограниченной задачи динамики твердого тела (по аналогии с небесной механикой) и была введена в [21]. Корректность обсуждаемого предельного перехода рассматривается также в [13].