24. Модификация уравнений Эйнштейна в присутствии материи

В отсутствие материи уравнения Эйнштейна имеют вид

Отсюда следует, что R = 0 и, таким образом,

Если взять за исходное уравнение (24.2), то путем свертки можно получить

и, следовательно, вернуться к (24.1). В качестве основных уравнений пустого пространства можно использовать как (24.1), так и (24.2).

В присутствии материи эти уравнения необходимо модифицировать. Предположим, что модифицированное уравнение (24.1) записывается так:

а (24.2) принимает вид

Здесь и — симметричные тензоры второго ранга, отражающие присутствие материи.

Теперь видно, что (24.4) — более удобная для работы запись, так как имеют место тождества Бианки (14.3), которые показывают, что

Следовательно, (24.4) влечет за собой равенство:

Любое тензорное поле порождаемое материей, должно удовлетворять этому условию; в противном случае уравнения (24.4) не являются согласованными.

Для удобства введем в уравнение (24.4) коэффициент и перепишем его в виде

В дальнейшем будет показано, что тензор с этим коэффициентом следует интерпретировать как плотность и поток энергии и импульса (негравитационного происхождения), причем представляет собой плотность, а — поток.

В плоском пространстве уравнение (24.5) имело бы вид

и влекло бы за собой закон сохранения энергии и импульса. В искривленном пространстве энергия и импульс сохраняются лишь приближенно. Отклонение от закона сохранения вызвано действием гравитационного поля на материю и наличием собственных энергии и импульса гравитационного поля.