19. Черные дыры

При решение (18.6) становится сингулярным, так как в этой точке Может показаться, что является минимально возможным радиусом тела массы то. Однако ближайшее рассмотрение показывает, что это не так.

Рассмотрим частицу, падающую на центральное тело. Пусть ее вектор скорости есть . Предположим, что частица падает по радиусу так, что . Ее движение определяется уравнением геодезической (8.3):

Учитывая что, , получаем

Это уравнение интегрируется и дает соотношение

где k — постоянная интегрирования, которая равна значению в начальной точке траектории частицы.

В рассматриваемом случае имеем, как и прежде,

Умножая это уравнение на и используя соотношение полученное в предыдущем разделе, находим

Для падающего тела следовательно,

Тогда

Пусть частица находится вблизи критического радиуса, т. е. , где е мало и члены порядка отброшены. Тогда

Интегрируя это соотношение, получаем

Таким образом, при , т.е. для достижения частицей критического радиуса требуется бесконечное время.

Предположим, что удаленный наблюдатель рассматривает частицу, излучающую свет определенной частоты. Свет испытывает красное

смещение, описываемое множителем . При достижении частицей критического радиуса этот множитель обращается в бесконечность. С точки зрения удаленного наблюдателя, все физические процессы в частице по мере ее приближения к критическому радиусу протекают все медленнее и медленнее.

Рассмотрим теперь наблюдателя, движущегося вместе с частицей. Для такого наблюдателя приращение времени совпадает с . Тогда

При величина стремится Следовательно, достижение частицей радиуса происходит за конечное собственное время наблюдателя. Если в момент достижения критического радиуса возраст движущегося наблюдателя конечен, то что же произойдет с ним дальше? По-видимому, наблюдатель будет продолжать свободно падать в пустом пространстве, двигаясь в область все меньших и меньших значений .

Для того чтобы рассмотреть продолжение решения Шварцшильда на область необходимо ввести нестатическую систему координат; в этом случае становится функцией временной координаты. Оставим координаты в и прежними, а вместо t и введем тир, определяемые соотношениями:

где и g — произвольные функции. Тогда справедливо равенство

полученное за счет выбора функций f и g, которые удовлетворяют условиям:

и

Здесь штрих означает производную по .

Исключив из этих уравнений , найдем

Чтобы проинтегрировать уравнение (19.5), положим . При величина . Получаем

откуда

Окончательно из (19.3) и (19.5) имеем

что интегрируется и дает

Таким образом,

где

Из проведенных выкладок видно, что удовлетворить условиям (19.3) и (19.4) можно. Значит, справедливо равенство (19.2). Подставляя (19.2) в решение Шварцшильда (18.6), получаем

Критический радиус согласно (19.7), соответствует . В метрике (19.9) сингулярность отсутствует.

Поскольку метрику (19.9) можно явно преобразовать в решение Шварцшильда при помощи преобразования координат, то она удовлетворяет уравнениям Эйнштейна для пустого пространства в области . Из отсутствия сингулярности при и из аналитической непрерывности заключаем, что (19.9) удовлетворяет уравнениям

Эйнштейна и при . Метрика (19.9) остается применимой вплоть до точки или .

Сингулярность появляется при переходе от новых координат к исходным (19.1). Но так как введена новая система координат, забудем об исходной, и тогда сингулярность больше появляться не будет.

Видно, что решение Шварцшильда для пустого пространства распространимо на область . Однако эта область изолирована от области . Как нетрудно проверить, любому сигналу, даже световому, потребуется бесконечное время, чтобы пересечь границу . Таким образом, область не является непосредственно наблюдаемой. Такую область называют черной дырой, так как материальные тела могут попасть внутрь сферы радиусом (за бесконечное время по часам удаленного наблюдателя), но ничто не может выйти наружу.

Возникает вопрос, существуют ли такие области в действительности? Определенно можно сказать только одно: уравнения Эйнштейна их существование допускают. Массивный звездный объект может сжаться до очень малых размеров; в этом случае гравитационные силы становятся настолько большими, что никакие другие из известных физических сил не смогут их уравновесить и предотвратить тем самым дальнейшее сжатие. Похоже, что сжатие такого объекта должно привести к образованию черной дыры. Правда, по часам удаленного наблюдателя на это потребовалось бы бесконечное время, однако по отношению к самой падающей материи время сжатия конечно.