8. Процедуры ограничения и скобка Дирака.

В п. 1 была рассмотрена возможность ограничения пуассоновой структуры на некоторое подмногообразие заданной, например, совместным уровнем функций . Оказалось, что для этого оно должно быть пуассоновым, то есть для любой функции F(x) должно быть выполнено

Геометрический смысл условия (8.1) состоит в том, что все гамильтоновы векторные поля касаются и поэтому корректно на него ограничиваются.

Рассмотрим в некотором смысле противоположную ситуацию, когда для функций определяющих подмногообразие матрица невырождена

Если многообразие М является симплектическим, то условие (8.2), выполненное на всем является необходимым и достаточным условием его симплектичности. Замкнутая форма, задающая на нем симплектическую структуру, получается из исходной (заданной на всем М при помощи обычной операции ограничения [2, 29]. Приведенная далее процедура может рассматриваться как обобщение операции ограничения симплектической формы. При этом функции задающие подмногообразия, в смысле условия (8.2) максимально некоммутируют.

В этом случае произвольное гамильтоново векторное поле на М допускает единственную проекцию на касательное пространство к подмногообразию Возникающее при этом векторное поле также является гамильтоновым относительно новой пуассоновой структуры — , определяемой по формуле

где

Скобка (8.3) называется скобкой Дирака [14, 37] и может рассматриваться во всем фазовом пространстве М (в сильном смысле по Дираку), так как замечательным образом удовлетворяет на нем тождеству Якоби (а не только на ). Она корректно определена также при условии вырожденности первоначальной пуассоновой структуры на М. Функции являются центральными для скобки (8.3). В вырожденном случае они пополняют уже существующий набор центральных функций. В структуре Дирака эти функции находятся в инволюции .

Пусть — линейная оболочка векторных полей через а — пространство гамильтоновых полей. Условие (8.2) означает, что все поля трансверсальны к касательному расслоению и независимы. Таким образом, определено расслоение позволяющее проектировать векторное поле на вдоль . В симплектическом случае поля где ортогональны относительно симплектической формы: т.е. представляет собой косоортогональную проекцию поля на . Гамильтоново поле совпадает с на тогда и только тогда, когда касается подмногообразия. В этом случае функции определяющие задают систему инвариантных соотношений гамильтонова потока

Замечание 4. Поле может быть также получено без явного вычисления скобки (8.3) методом неопределенных множителей Лагранжа [14]. Для этого рассмотрим гамильтониан

совпадающий с на Условия касания поля подмногообразия принимают вид

В силу (8.2) система (8.5) допускает единственное решение относительно

Несложно проверить также, что поля совпадают на .

Замечание 5. Метод неопределенных множителей, указанный в предыдущем замечании, позволяет конструктивно получить систему инвариантных соотношений в динамических проблемах. Для этого необходимо задать первоначальную форму одного из предполагаемых инвариантных состояний с неопределенными коэффициентами, а затем проделать несколько шагов (8.4), (8.5) до тех пор, пока система инвариантных соотношений не

будет однозначно разрешима относительно неопределенных коэффициентов и множителей Такой последовательный метод, не учитывающий, однако, гамильтоновой формы уравнений движения, был, по существу, использован классиками (Чаплыгин, Стеклов, Ляпунов) при поиске инвариантных соотношений и частных решений в динамике твердого тела [5].